Исследование динамики логистического уравнения с диффузией и отклонениями аргументов

• Автор: Алешин, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 118 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Логистическое уравнение с запаздыванием
11. Постановка задачи
1.2. Бифуркация Андронова-Хопфа
1.3. Построение квазинормальных форм в сингулярно возмущенном случае
1.4. Локальный анализ состояния равновесия
1.5. Численный анализ
2. Логистическое уравнение с диффузией и запаздыванием
2.1. Постановка задачи
2.2. Построение нормализованного уравнения
2.3. Некоторые свойства уравнения распространения волны
2.4. Численный анализ уравнения КПП
с запаздыванием
2.5. Выводы
3. Логистическое уравнение с диффузией и отклонением по пространственной переменной
3.1. Некоторые свойства волновых решений задачи
3.2. Волновые решения в задаче е периодическими условиями
3.3. Численный анализ уравнения КПП
с пространственным отклонением
4. Вычисление спектра показателей Ляпунова для дифференциальных уравнений с запаздыванием
4.1. Описание алгоритма
4.2. Результаты тестирования приведенного алгоритма на примере
уравнения Хатчинсона

4.3. Результаты численною моделирования
Заключение
Литература
Приложения
Приложение А. Фрагменты исходного кода программного комплекса «Оценка показателей Ляпунова для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом»
Приложение В. Пример сохраненной вычислительной задачи .... 112 Приложение С. Описание программы
Введение
Одним из фундаментальных предположений, лежащим в основании всех моделей роста, является предположение о том, что численность популяции пропорциональна скорости роста популяции. Например, многие одноклеточные организмы размножаются простым делением, т.е. удвоением числа клеток через определенные интервалы времени, называемыми характерными временами деления. Для сложно организованных растений и животных размножение происходит 110 более сложному закону, но в простейшей модели можно предполагать, что скорость размножения вида пропорциональна численности этого вида.
Именно такую первую математическую модель для описания динамики изменения численности вида предложил основоположник математических популяционных моделей Томас Мальтус в 1798 г. [92]. Согласно его представлениям любой вид при благоприятных условиях увеличивает свою численность по экспоненциальному закону, т.е.
N = гЛг, (0.0.1)
где N — численность вида, г — относительный коэффициент роста. Закон Мальтуса прекрасно согласуется с экспериментальными данными на ограниченных временных интервалах, когда размер популяции не слишком велик. В частности, он использовался Чарльзом Дарвином при разработке им теории борьбы за существование [30].
В уравнении (0.0.1) совсем не учитываются факторы, препятствующие росту популяции, такие как, например, ограниченность доступной пищи или размера территории обитания, возраст особей, различные болезни и многие другие. В 1835 году Ламбер Адольф Жак Кетлс и Пьер Франсуа Ферхюльст, развивая идеи Мальтуса, предположили, что численность вида изменяется в соответствии с законом, задаваемым логистическим уравнением [101]:
N = гМ(1 - іЧ/К), (0.0.2)

Для получения дискретного аналога распределенного уравнения (2.1.1) выпишем интегральное равенство
Фиксируем теперь некоторое натуральное N. зададим узлы х3 = Т{] — 1/2)/]У, ] = 1,.... N и заменим в (2.1.9) вторую частную производную по х второй разделенной разностью. Аппроксимируя интегралы по формуле прямоугольников, для переменных ип^ - и(пк/к,хД имеем систему разностных уравнений
Непосредственное вычисление по формулам (2.1.10) приближенных решений краевой задачи (2.1.5). (2.1.6) позволяет проследить за усложнением решений при уменьшении параметра (I (соответствует увеличению значения Т) и за увеличением амплитуды колебательного режима при увеличении параметра к. На рисунок 2.1 приведены графики распределения решения краевой задачи (2.1.5), (2.1.6) по пространственной переменной, построенные с помощью дискретной модели (2.1.10) при N — 50, первые два графика построены для Т = 60, к = 1.6 в случае а) и к = 1.8 в случае Ь). третий и четвертый графики построены для Т = 120 и тех же значений к. На всех графиках рисунок 2.1 пространственная переменная х пронормирована на
Учитывая, что для многих приложений представляет интерес задача о распространении волн концентрации в задаче (2.1.1), в следующих пунктах будем рассматривать это уравнение без граничных условий.
2.2. Построение нормализованного уравнения
/.Н-Л./А:
t—h+h/k

(2.1.9)

Итак, рассмотрим вопрос о поведении решений с начальными условиями из некоторой достаточно малой, но независимой от е окрестности в С[-ос.о]х[-/(.о] состояния равновесия щ = 1 уравнения