Методы преобразования и передачи информации в автоматизированных системах управления на основе решения логических уравнений и построения систем многозначной алгебры логики

• Автор: Калинушкина, Марина Юрьевна
• Шифр специальности: 05.13.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 117 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

1 .Общие сведения об алгебрах и логиках

1.1. Понятие о дискретных и конечнозначных алгебрах логики

1.2. Элементарные многозначные функции

1.3. Операция суперпозиции многозначных логических функций

1.4. Три основные проблемы, возникающие при синтезе логических

1.5. Понятие о регулярных формах в конечнозначной алгебре

логики

1.6. Функциональная полнота полиномиальных предоставлений

2. Асимметричные алгебры с парой бинарных операций
2.1. Вводные замечания
2.2. Определение асимметричных алгебр с парой бинарных
операций
2.3. Некоторые обобщения асимметричных алгебр
3. Регулярные аналитические представления многозначных логических функций в асимметричных алгебрах
3.1. Обобщенные регулярные формы
3.1.1. Постановка задачи
3.1.2. Малоуровневые регулярные формы
3.1.3. Сведение задачи о регулярных представлениях функций многозначной логики к задаче о разрешимости системы многозначных уравнений
3.2. Аналитические представления многозначных функций в асимметричных алгебрах-изобипоидах
3.2.1. “Диагональная” система (базис)
3.2.2. “Треугольная” система (базис)
4. Разработка методов решения уравнений и систем многозначной алгебры логики
4.1. Введение
4.1.1. Классификация логических уравнений и систем уравнений
4.1.2. Приведение неоднородного логического уравнения к равносильному однородному уравнению
4.1.3. Укрупнение системы однородных логических уравнений в
одно равносильное уравнение
4.2. Троичные логические уравнения
4.2.1. Числовые троичные логические уравнения с одним неизвестным
4.2.2. Буквенное троичное логическое уравнение с одним неизвестным
4.2.2.1. Прямой метод решения
троичного логического уравнения
4.2.2.2. (Основной метод решения
троичного логического уравнения
4.2.3. Системы троичных логических уравнений
4.3. Понятие о решении конечнозначных логических уравнений
4.3.1. Обобщение основного метода решения
4.32. Основной метод решения
4.4. Использование логических уравнений в теории
цифровых многозначных схем
4.4.1. Анализ многозначных схем с обратными связями
4.4.2. Синтез многозначных триггерных последовательностных схем
5. Примеры аналитических представлений многозначных функций в
асимметричных алгебрах
5.1. Постановка задачи
5.2. Реализация “диагонального” базиса (квазиполиномом - в интерполяционной форме Лагранжа)
5.3. Реализация “треугольного” базиса (квазиполиномом - в интерполяционной форме Ньютона)
5.4. Реализация асимметричных логико-арифметических
базисов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно широкое распространение двоичной логики в теории и практике современной вычислительной, информационно-измерительной и управляющей технике.
Это объясняется не только простотой двоичных элементов, но и наличием достаточно разработанного математического аппарата двоичной логики.
В то же время двоичное кодирование не является эффективным при обработке разнообразной информации. Это обусловило широкое и интенсивное развитие недвоичной логики: многозначной (конечной), бесконечнозначной, непрерывной, нечеткой.
Очевидно, многозначная элементная база и недвоичные методы представления информации - следующий шаг в развитии средств сбора, обработки, преобразования, передачи информации и т.п.
Начала теории конечных (дистрибутивных) алгебр восходят к XVII и XVIII векам и связаны с именами величайших математиков П.Ферма, Л.Эйлера, Ж.-Л.Лагранжа, А.-М.Лежандра, К.-Ф.Гауса и др. Однако наиболее изящные ветви конечных (дистрибутивных) алгебр - конечные поля и двоичная алгебра логики, имеющие в настоящее время великое множество приложений в различных областях науки и техники, были разработаны в прошлом веке соответственно французским учащимся Приготовительной школы гениальным Эваристом Галуа (1811-1831), погибшим в двадцатилетием возрасте на дуэли, и английским провинциальным учителем Джорджем Булем (1815-1864); в память об этих ученых конечные поля называются полями Галуа, а двоичная алгебра логики - булевой алгеброй логит [1].
Исследования Э.Галуа и Дж.Буля намного опередили время: практическое использование теории конечных полей и двоичной алгебры логики стало возможным лишь во второй половине нашего столетия в связи с потребностями новых наук - теории информации, вычислительной техники и смежных дисциплин.
История помехоустойчивой информации началась в 1948 году со статьи К.Шеннона. В настоящее время наиболее мощные коды для автоматического обнаружения и исправления многочисленных ошибок в канале связи строятся на основе теории полей Галуа [2,3].
Общеизвестны достижения в области кибернетики, микроэлектроники, вычислительной и цифровой измерительной техники, радиоэлектроники и т.д., полученные на основе использования схем двоичной логики. Однако возможностей этой логики уже недостаточно при решении ряда новых задач, в том

Именно справедливо следующее утверждение.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2.2. 1. Во всякой (некоммутативной) квазигруппе (лупе, группе) ровно к неэквивалентных правых и к неэквивалентных левых изотопных единичных (нейтральных) элементов; при этом в лупе и в группе имеется двусторонний вырожденный изотопный единичный (нейтральный) элемент.
2. Во всякой коммутативной квазигруппе ровно к двусторонних изотопных единичных (нейтральных) элементов, причем в абелевой группе (лупе) один из них вырожден.
Это позволяет в определении, например, ас-кольца, и, вообще, абелевой группы, освободиться от ряда аддитивных аксиом (кроме, естественно, аксиом об однозначности и ассоциативности операции &), заменив их следующей аксиомой о существовании к изотопов.
Пусть /{а) ” любая перестановка, включая тождественную; тогда
УаеК, В к(^)п'еК, [а®п[ = п1@а =/(а) / = 0Д,...,£-1, где/(а)*/, (а) при/* у.
Заметим, что из последнего условия вытекает коммутативность операции 0, возможность вычитания и сокращения; если кроме того 3 /, (а) = а] - то
и наличие нейтрала п и обратимость каждого элемента. Таким образом, при существовании нейтрала п данная аксиома определяет лупу с обратимостью , таккакУа е К, (п/а = па)
Понятие изотопности применимо и к элементам дистрибутивных алгебр. Так, если в коммутативном кольце какой-либо элемент мультипликативного группоида является изоединицей, то над подобным кольцом можно, во-первых, не только построить векторное пространство без деления (модуль), но и, во-вторых, однозначно решить систему из к уравнений, а следовательно, и составить формулу для любой функции £-значной логики, если определитель матрицы (образующей) системы равен этой изоединице. При этом справедливо известное правило Крамера.
Введем ряд понятий.
Определение 2.8. Пару (а,Ь) изотопных элементов (изонейтралов) назовем групповой, если соответствующие им перестановки аР коммутируют между собой: а • р =р ■ а, где точкой обозначена композиция (последовательное выполнение) перестановок.
Данное понятие оправдывается следующим утверждением.
УТВЕЖДЕНИЕ 2.3. Группоид <К;0 > является группой, если и только если его каждый левый элемент /л с любым правым элементом /п, т.е. каждая /'-строка с любым у'-тым столбцом в таблице Кэли для операции <9, образует групповую пару (iл, уп).