Теория рассеивания и формулы следов для диссипативных операторов и сжатий

• Автор: Рыбкин, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 116 c. : ил

ГЛАВА I. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ЛДЯ СЖАТИЙ

§1. Описание класса исследуемых сжатий

§2. Характеристическая функция сжатия класса и

спектральное представление унитарной дилатации . . 18 §3. Сравнительный анализ дилатации сжатия класса (Бр . 22 §4. Иывариантнорть■блочной структуры

§5. Волновые операторы и оператор рассеяния для сжатия

и унитарного. Общие свойства

§6. Рассеяние для сжатий класса (Б^

§7. Рассеяние для слабых сжатий

§8. Существование расширенного волнового оператора в случае сжатия, не имеющего спектральных особенностей

ГЛАВА II. ФОРМУЛЫ СЛЕДОВ К ФУНКЦИЯ. СПЕКТРАЛЬНОГО СДВИГА ДЛЯ

СЖМПЦЕГО И УНИТАРНОГО ОПЕРАТОРОВ

§1. Редукция к более простым объектам
§2. Формула следов и функция спектрального сдвига.
Случай сжатия без внутренней компоненты
§3. Включение дискретного спектра. Структура функции
спектрального сдвига в общем случае
§4. Связь функции спектрального сдвига с определителем
матрицы рассеяния

ГЛАВА III. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ТОЕДЕСІВА ТЛЯ ДИССИПАТИВНОГО ОПЕРАТОРА, ВОЗНИКАЮЩЕГО В ЗАДАЧЕ О РЕЗОНАНСНОМ РАССЕЯНИИ
ПЛОСКИХ ВОЛН НА ОДНОМЕРНОМ КРИСТАЛЛЕ
§ I* Диссипативный дифференциальный оператор в теории резонансного рассеяния на одномерном полубесконечном кристалле
§ 2. Высокоэнергетическая асимптотика характеристической функции
§ 3. Спектральные тождества для резонансов. Случай
пары (в, )
§ 4. Спектральные тождества для резонансов. Случай
пары (в , А ) . Теорема Левинсона
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К настоящему времени теория возмущении непрерывного спектра самосопряженных операторов получила уже глубокое развитие. Теория рассеяния превратилась в обширную и разветвленную науку, давно стали привычным аппаратом сравнительного анализа операторов формулы следов и спектральные тождества.
Иная ситуация наблюдается для несамосопряженных операторов. Если в соответствующей теории рассеяния уже имеется рад важных результатов, то аппарат формул оледов в сущности не разработан.
В то же время многие задачи резонансной теории рассеяния требуют исследования формул оледов и спектральных тождеств диссипативных дифференциальных операторов.
В диссертации получена абстрактная формула следов для пары, состоящей из сжимающего и унитарного операторов и построена для этого случая теория функции спектрального сдвига. Методы работы позволяют попутно получить некоторые новые результаты по теории рассеяния для сжатий. На основе разработанных методов выведены спектральные тождества для конкретного диссипативного дифференциального оператора, возникающего в задаче о резонансном рассеянии плоских волн на одномерном полу бесконечном кристалле.
Перейдем к описанию содержания работы. Диссертация содержит три главы, причем, каждая предшествующая глава является базой для последующей. Основным аппаратом первых двух глав служит гармонический анализ операторов, развитый Б.С.-Надем и Ч.Фояшом. Третья глава в существенном опирается на асимптотичеокие методы.
В главе I получены подготовительные результаты. С их помощью во второй главе удается быстро получить ооновной результат. ГЛАВА IIмеет теоретико-операторный характер.

ДЛЯ дары С ^ > У ) , ^ - К, ^ существуют и полны волновые
операторы (ом. [10] ) и по теореме умножения (см.§5) переходим от оператора та V
Обозначим через У1 _ наименьшее подпространство в
вида С - 5^0^ е, е ), е £* . Ортогональные дополнения
^ © )?+ обозначим соответственно через И
Тогда верно
Предложение 7.1. Оператор Т есть расширение изометриявляется унитарным оператором в
В работе [6] отмечено, что Т~^± ядерный оператор,коль скоро Т - слабое сжатие.
Предложение 7.2. Волновые операторы С С/ 1/0 ©
существуют и полны, оператор рассеяния л/, и0 Ф И, )
унитарен.
При таком выборе оператора матрица рассеяния для
пары ( с/, Уй ф ^ 3 явно выражается через х.ф. сжатия.
^ г;, содержащее все элементы вида (2.~1е ЗСо )еее<£, а через - наименьшее подпространство, содержащее элементы
веского из в ^.оператора То =2/^_. Это расширение задается формулой
о )
Расширение, задаваемое формулой