Теория расширений и спектральный анализ модельных задач резонансного рассеивания

• Автор: Фаддеев, Михаил Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 119 c. : ил

§ I. Модель диссипативного оператора о одномерным

дефектом несамосопряженности

§2. Спектральный анализ унитарных возмущений

сжатий

§ 3. Асимптотика функции Грина задачи Неймана

вблизи точки границы

§ 4. О рассеянии на.■полом резонаторе о малым

отверстием

§ 5. Модель свободных электронов и задача

рассеяния

§ 6. Построение самосопряженной дилатации

для задачи с импедансным граничным условием
ЛИТЕРАТУРА

Давно было замечено, что спектральные характеристики (матрица рассеяния, рассеянные волны, спектральная плотность, резольвента и т.д.) многих самосопряженных операторов, встречающихся в акустике и квантовой механике, допускают аналитическое продолжение за разрез, отвечающий непрерывному спектру, на второй - так называемый "нефизический" - лиот спектрального параметра. Полюса матрицы рассеяния, лежащие на втором листе, обычно называют резонансами, а соответствующие им решения однородных уравнений - резонансными состояниями. Это название связано с следующим обстоятельством. Если записать решение соответствующей временной задачи в виде интеграла по непрерывному спектру (плюс сумма по собственным числам), то, пользуясь возможностью аналитического продолжения спектральных характеристик при финитных начальных данных, можно деформировать контур интегрирования, опуская его на нефизический лист и выделяя вычеты в полюсах аналитического продолжения. Главные части подынтегрального выражения в этих полюсах цредотавляют собой комбинацию экспонент вида еюср(-Ік* і) или 0хр(4к3і)
и растущих решений ср3 однородного уравнения, например, (к-к^&хр(-ок3і) с[5 (х) ^(Ц) афсіу
Таким образом, указанным полюсам соответствуют убывающие (ЇК Кс < о) ПО времени моды

Наличие в тих мод в решении интерпретируется обычно как раопад соответствующих "резонансных" состояний ср с периодом полураспада ) Ум К ^ I » который иногда называют "временем жизни" резонансного состояния.
Следовательно, аналитическое продолжение спектральных характеристик на нефизический лист порождает, вообще говоря, некоторый комплексный спектр. В простейших случаях этот спектр был изучен. Так,Редже [I] исследовал расположение резонаноов, отвечающих одномерному оператору Шредингера. В этом случае соответствующие растущие решения однородного уравнения Шредингера удовлетворяют импедансным граничным условиям
-(р"+£^ = кг<р, С|>(0)=0,
В следующей работе Редже [2] утверждается, что эта система полна в ( 0,0/) , если длина промежутка 0, не
превосходит удвоенной верхней грани носителя потенциала
Основная трудность в спектральном анализе резонаноов вызвана тем, что соответствующая задача не допускает тривиальной операторной трактовки. В одномерном случае это находит отражение в тем, что спектральный параметр К содержится в граничном условии.
' В оригинальном доказательстве Редже имеется ошибка. В дальнейшем результат Редже был уточнен и обобщен рядом математиков (Коган [3] , Кравицкий [4] , Павлов [5] , Зак [б] ).