Теория возмущений высокого порядка и свойства некоторых квантово-механических систем

• Автор: Иванов, Игорь Анатольевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Троицк
• Количество страниц: 184 с. : ил.

Глава
Предметом настоящей работы является исследование свойств рядов теории возмущений для случая квантово-механических систем для которых коэффициенты ряда теории возмущений могут быть расчитаны вплоть до членов довольно высокого порядка (несколько десятков). Типичной будет следующая постановка вопроса. Рассматривается квантово-механическая система, Гамильтониан которой естественным образом может быть разбит на Гамильтониан нулевого приближения и возмущение. Предположим, что коэффициенты ряда теории возмущений, соответствующей этому разбиению Гамильтониана, (для определенности, мы будем рассматривать ряд теории возмущений Релея-Шредингера) могут быть расчитаны вплоть до членов высокого порядка. Нас будет интересовать следующий вопрос: какую информацию о точном решении квантово-механической задачи можно извлечь из имеющегося набора коэффициентов ряда теории возмущений? Три известных примера квантово-механических систем, которые мы будем рассматривать ниже, где расчет коэффициентов ряда теории возмущений был проведен до членов высокого порядка, и где, поэтому, поставленный выше вопрос имеет право на существован-

Глава 1. Введение.

ие, это ангармонический осциллятор, эффект Штарка в водороде и дв-ухэлектронная система. Наиболее полные расчеты коэффициентов рядов теории возмущений для этих систем приведены в работах [1, 2] для ангармонического осциллятора, в работах [3, 4, 5] для задачи об эффекте Штарка в водороде и в работе [6] для основного состояния двухэлектронной системы. В качестве возмущения принимались в этих работах принимались квартетный ангармонизм для ангармонического осциллятора, оператор взаимодействия с метрическим полем для задачи об эффекте Штарка в водороде, и кулоновское межэлектрониое взаимодействие в случае двухэлектронной системы. Реальный практический интерес представляют, конечно, только две последних задачи, в особенности последняя- применение теории возмущений с водородоподобным нулевым проближением к атомной системе, так как этот метод является удобным и мощным средством расчетов спектральных характеристик многозарядных ионов (так называемый 1/^-метод).
Первоочередной вопрос, возникающий при формальном применении рецептов построения теории возмущеий, это вопрос о характере полученпо-го ряда. Ряды теории возмущений могут быть, вообще говоря, как сходящимися (как в случае ряда теории возмущений для двухэлектронной системы [7, 8)), так и расходящимися асимптотическими, как в задачах об ангармоническом осцилляторе [9, 1, 2] или эффекте Штарка в водороде [10, И]. В случае сходящегося ряда ситуация более-менее понятна, сходящийся в некоторой окрестности ряд представляет собой элемент аналитической функции, который, в принципе содержит полную информацию об этой аналитической функции. Этот элемент можно, например, продолжить аналитически (мы дадим пример такой процедуры в Гл.2 при обсуждении задачи о двухэлектронной системе). Оказывается, что и расходящиеся асимптотические ряды в некоторых случаях обладают тем свойством, что набор коэффициентов такого ряда позволяет получить полную информации о точном рещении. Для этого достаточно, чтобы асимптотический ряд обладал так называемым свойством суммируемости по Борелю. Несколько упрощая, (точная формулировка дана в Главе 5), суммируемость асимптотического ряда по Борелю означает, что существует только одна функция, имеющая в качестве коэффициентов асимптотического разложения коэффициенты этого ряда. Ряды теории возмущений в задачах об ангармоническом осцилляторе и эффекте Штарка обладают этим свойством (подробнее в Гл.5), и, таким образом, как и в случае сходящегося ряда теории возмущений для двухэлектронной системы, набор коэффициентов ряда теории возмущений позволяет, в принципе, получить полную информацию о точном решении соответствующей квантово-механической системы. Вопрос заключается, таким образом, только в том, как эту информацию извлечь. Очевидно, методы, позволяющие решить эту задачу совершенно отличны от методов, годящихся для случая сходящихся рядов.
В настоящей работе мы рассмотрим оба эти случая. В Главе 2 мы рассмотрим задачу о двухэлектронном атоме. Наше изложение в этой Главе следует нашим работам [12, 13, 14].
Пользуясь известными в литературе расчетами [6] коэффициентов теории возмущений высокого порядка (в цитируемой выше работе [6] проведен расчет первых 400 членов ряда теории возмущений для основного состояния двухэлектронной системы) мы получим достаточно полную информацию о свойствах точной энергии Е(2) основного состояния как функции заряда ядра 2. Говоря о свойствах Е(2), мы имеем в в виду ее свойства в смысле теории функций комплексного переменного,

2.3. Наличие малого параметра в двухэлектронной задаче

*Ь£ь)М = (п+1)а1^—^{/(л-7,-7-1,^), (2.44)

где и{Ь,с,г)- вырожденная гипергеометрическая функция [16]. Пользуясь известными свойствами (7(Ь, с, г) легко показать, что для гг —► со выражение в правой части (2.44) ведет себя какп~г~? ехр(—2(—)?), давая правильную асимптотику коэффициентов Еп при соответствующем выборе численных значений параметров в ф-ле (2.44).
Численный анализ функции А(£) показывает, что она хорошо аппроксимируется следующей формулой:
А“и>(*) = /г(0)(1 + а4)ее-с‘, (2.45)
где: с = 0.132175, е = 0.00895814, а = 1.86037, А(0) = 3.80122.
Из данных, представленных в таблице (2.6) видно, что аппроксимация (2.45) с точностью порядка процента воспроизводит функцию А(£) для £ е [0,12).
Для больших £ расчет функции Л(£) по формулам (2.31),(2.33) затруднителен, так как связан с большими численными неточностями из-за взаимной компенсации больших численных факторов.
Аналитическая аппроксимация (2.45) дает также вполне удовлетворительные результаты для энергии основного состояния двухэлектронной системы для различных значений заряда ядра Z. Собирая вместе у-я (2.20),(2.33) (2.45), можем написать для энергии следующее приближенное выражение: