Симметрии квантовых интегрируемых систем

• Автор: Крюков, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 105 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Сохраняющиеся токи в квантовых интегрируемых моделях.
Глава 2. Бозонизация алгебры токов для уравнения синус- Гордон.
Глава 3. Интегралы движеция классического решеточного уравнйщя- * ■ синус- Гордон. • ! ’
Глава 4. Аналог квантовой гамильтоновой редукции Дринфельда Соколова для деформированных алгебр (ия(я12) - случай).
Заключение
Приложения
Список литературы

Введение
За последние 30 лет в квантовой теории поля низкоразмерных систем наблюдается значительный прогресс. Удалось получить много точных результатов, не используя методы теории возмущений. К таким результатам относится вычисление 5-матриц Лоренц-инвариантных интегрируемых систем, таких, например, как синус-Гордон и др. Наличие квантовых интегралов движения приводит в конечном счете к уравнениям на 5-матрицу. С другой стороны, используя полевой подход в моделях статистической механики с помощью разумной аксиоматики, удалось добиться точного решения теории в точке фазового перехода второго рода. Под точным решением квантовой теории поля подразумевается вычисление всех квантовых корреляционных функций. Решены также некоторые нелинейные сг-модели с топологическими членами в фиксированных точках ренормализационной группы. Это модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена. Все, что объединяет системы, в которых удалось вычислить квантовые средние- это наличие в ней бесконечномерной симметрии. Именно использование специфических свойств таких симметрий позволило получить точное решение. Другой объединяющий принцип квантовых интегрируемых систем и систем с бесконечномерной симметрией - это наличие у обеих бесконечной совокупности интегралов движения. В случае интегрируемых систем интегралы движения образуют коммутативную алгебру, а в точно решаемых системах это нетривиальная некоммутативная алгебра. Алгебра Вирасоро - в случае полевого подхода к статистическим системам и дополнительно алгебра Каца-Муди в случае д-моделей с топологическими членами в фиксированных точках ренормализационной группы. Таким образом, как показывают примеры выше, изучение любой данной квантовой системы, вероятно, следует начинать с изучения квантовых интегралов движения. Квантовые интегралы движения всегда строятся, используя одновременную скобку Пуассона,которая является простой, поэтому такие интегралы движения можно построить точно - не используя теорию возмущений.
Правила квантования обычно предполагают, что все классические симметрии должны присутствовать в квантовом случае, иначе мы имеем квантовую аномалию. Оказывается, однако, что в квантовом случае могут появляться новые симметрии, которые не присутствуют в классиче-

ской теории и эти симметрии можно обнаружить, только изучая квантовые интегралы движения. Здесь мы имеем дело с квантовыми вырождениями, которые появляются благодаря специфическим гамильтонианам интегрируемых систем и определенной силе взаимодействия (константе связи). Ниже мы более подробно остановимся на конформных теориях поля - системах с бесконечной симметрией, и квантовых интегрируемых теориях - теориях, обладающих высшими квантовыми интегралами движения. Мы проанализируем, что общего между этими двумя классами теорий поля, и что их отличает, и фактически попытаемся понять, чего все-таки недостает, чтобы сделать интегрируемые теории точно решаемыми так же как конформные.
2. Конформная теория поля.
При приближении к точке фазового перехода второго рода характерный размер флюктуаций параметра порядка - корреляционная длина гс-возрастает. Эти длинноволновые флюктуации могут быть описаны на языке эффективной теории поля, отвлекаясь от детальной микроструктуры. Строго в критической точке Т — Тс корреляционная длина бесконечна и соответствующая эффективная теория поля безмассова, а ее инфракрасная асимтотика инвариантна по отношению к масштабным преобразованиям:
-> Ажм,
(где х^ -пространственные координаты, /л = 1,2,...!)). Поля, описывающие флюктуации параметра порядка, преобразуются при масштабных преобразования следующим образом:
Фi А*Ф,Ч
где (1г - аномальные масштабные размерности. В 1970 г Поляков [1] предположил, что критические флюктуации имеют, помимо масштабной, также и конформную инвариантность. Конформные преобразования - это координатные преобразования, которые оставляют инвариантными углы между двумя векторами в заданной точке, но могут изменить их длину. Фактически в однородных и изотропных системах конформная симметрия следует из масштабной инвариантности и обеспечивается локальностью взаимодействия. В Евклидово-инвариантной теории, генератор преобразования координат относительно вращений удовлетворяет

Данная модель также ранее не рассматривалась. Структура расположения некоммутирующих интегралов движения следующая:
Табл.
п 4 5 6 7 8 9
а = Л + + +
а = /3 + +
Здесь мы приводим выражение только для сохраняющихся токов.
к =■ (3+)6 : +(~^/б) : (д+)4<92^ : +(“) : (д(р)2д2(рд2р :
1 1 ^
+ : (д(р)'2д4(р : (—л/б)+ : д2(рдг<рд<р : (--/б) + : (<92<р)3 : (^^6)
+ : д2рд4р : (")+ : Эг<рдг<р : (у) + (« = ^ |)-
к =■ (Эр)6 : -Ь(—5л/3) : (д(р)4д2+ : +15 : [д(р)2д2(рд2(р : +
г. 9П
+ф:(д<р)2д4<р: + :д<рд2<рд*<р:(^)+
+ : (^2+)3 : (~у^3) + : д2удАу : (~у) +

+ :ЗУЗЩ(-Т) + +(-^СЗ), (а=Л).
13.(1. Модель /?§.
Эта модель известна как квантовая теория Жибера-Шабата. Структура расположения некоммутирующих интегралов движения и значения констант связи, где они появляются, такие же, как и в модели /З4, и сохраняющиеся токи также совпадают с приведенными в (13.с.).
Напомним здесь что модели Дз и к совпадают (нужно сделать замену константы связи а. —» — §).
Единственная модель где не удалось обнаружить сохраняющиеся токи это к- Вероятно, они имеют большие спины. Таким образом,существование сохраняющихся токов при определенных значениях констант связи является общим свойством Лоренц-инвариантных квантовых интегрируемых теорий с парным экспоненциальным взаимодействием.