Приложение R-матричных методов к вычислению топологически инвариантных наблюдаемых в квантовой теории поля

• Автор: Анохина, Александра Сергеевна
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 156 с. : ил.

Содержание
1. Введение

1.1. Топологические квантовые модели их физические приложения

1.1.1. Теория адиабатических преобразований

1.1.2. Метод аналитического продолжения

1.1.3. Тождества Уорда топологической квантовой теории ноля

1.2. Полином узла как среднее в модели Кауффмана

1.2.1. Узлы и полиномы узлов

1.2.2. Модель Кауффмана

1.2.3. Операторные тождества

1.2.4. Вычисление полинома Джонса для узла-трилистника с помощью конструкции Кауфмана
1.3. К квантово-полевому представлению инвариантов узлов
1.3.1. Инварианты узлов как наблюдаемые в теории Восса — Зумиио — Виттена
— Новикова и как аксиоматически определенные вильсоновские средние
1.3.2. Конформные блоки Весса — Зумиио — Виттена — Новикова и классические
поля в теории Черна — Саймонса
1.3.3. Полином ХОМФЛИ как пертурбативпое вильсоновское среднее в лаграпже-
вой теории Черна — Саймонса: постановка задачи
1.3.4. Вильсоновские средние в теории Черна — Саймонса
1.3.5. Гауссово число зацеплений как вклад второго порядка в вильсоновское среднее в абелевой теории Черна — Саймонса
1.3.6. Инварианты узлов как инварианты зацеплений: оснащение с точки зрения
теории Черна — Саймонса
1.3.7. Интеграл Коицсвича как ряд теории возмущений для чери — саймоисовского
вильсоновского среднего в голоморфной калибровке
1.4. Постановка задачи
1.4.1. Цель работы
1.4.2. Исходное положение дел
1.4.3. Проблемы
1.4.4. Основное содержание проделанной работы
1.5. Основные результаты
1.6. Основные публикации
2. Представление полинома узла в терминах К.-матриц
2.1. Полином узла как взвешенный след элемента группы кос
2.1.1. Двунрядиые косы
2.1.2. Трехирядпые косы
2.2. Использование 7?,-матриц в качестве операторов перекрестков в модели Кауффмана
2.2.1. Понятие квантовой 7?,-матрицы
2.2.2. Свертка 77-матрпц как инвариант разрезанной диаграммы узла
2.3. Вставка оборотных операторов в качестве процедуры усреднения
2.4. Процедура оснащения в 72.-матричиом формализме
2.5. Циклы на диаграмме узла и оборотные операторы
2.6. Явное вычисление полинома ХОМФЛИ для узла-трилистника
2.6.1. Зеркальная симметрия
2.7. Сведение 77-матричиого представления к представлению через группу кос и разложение полиномов ХОМФЛИ по характерам
2.7.1. Оборотные операторы и нулевое движение Рейдемейстера

|||| ||| | | | II ■ I II I I II I Ч1«
2.7.2. От свертки 77.-матриц к разложению полинома ХОМФЛИ по характерам:
двуирядпые косы
2.7.3. От свертки 77-матриц к разложению полинома ХОМФЛИ по характерам:
двупрядные косы
2.7.4. Теоретико-групповой смысл общих собственных подпространств операторов
пересечений п замыкания
Полином ХОМФЛИ как сумма по путям на графе Юнга
3.1. Пример вычисления раскрашенного полинома ХОМФЛИ с помощью 77-матриц, связанных с генераторами группы кос
3.2. Задача о явном вычислении элементов 77-матриц
3.2.1. Выражения для 77-матриц через перебрасывающие матрицы
3.2.2. Элементы перебрасывающих матриц как коэффициенты Рака
3.2.3. Размеры элементарных блоков в перебрасывающих матрицах
3.2.4. Явная формула для элементов перебрасывающих матриц
3.3. Задача о коэффициентах Рака для квантовой группы Uq(sl$)
3.3.1. Сводка необходимых фактов о группе SU(N), алгебре sun и их представлениях
3.3.2. Явное вычисление коэффициентов Рака для группы SU(3) в частном случае
3.3.3. Обобщение решения классической задачи о коэффициентах Рака на случай
квантовой группы
3.4. Явное вычисление (нсраскрашенных) полиномов ХОМФЛИ с помощью диагональных 77-матриц и коэффициентов Рака
3.4.1. Расширенные полиномы ХОМФЛИ для двупрядных кос
3.4.2. Расширенные полиномы ХОМФЛИ для трехпрядных кос
3.4.3. Расширенные полиномы ХОМФЛИ для четырехпрядных кос
3.4.4. Расширенные полиномы ХОМФЛИ для нятипрядных кос
3.4.5. Расширенные полиномы ХОМФЛИ для шестипрядных кос
3.4.6. Расширенные полиномы ХОМФЛИ для еемипрядиых кос
3.5. Полином ХОМФЛИ как сумма но путям на графе Юнга
3.5.1. Сумма по путям для двупрядных кос
3.5.2. Сумма по путям для трехпрядных кос
3.5.3. Сумма по путям для четырехпрядных кос
3.5.4. Общий алгоритм вычисления коэффициентов разложения полиномов ХОМФЛИ но характерам как кратной суммы по путям на графе Юнга
Процедура каблирования для полиномов ХОМФЛИ
4.1. Каблировапие тривиального узла и выражения для проекторов на симметрическое
и антисимметрическое представления
4.1.1. Проблема высших кабелей
4.1.2. Процедура каблирования и теорема о факторизации раскрашенного полинома ХОМФЛИ в двойном скейлипговом пределе
4.2. Раскрашенный полипом ХОМФЛИ как сумма по путям па подграфе Юнга
4.2.1. Простейший раскрашенный полином ХОМФЛИ узла-трилистника
4.2.2. Описание проекции в терминах путей на графе Юнга
4.3. Процедура каблирования как операция копроизведения
4.3.1. Вычисление параметров смешивающих блоков с помощью процедуры каблирования
4.3.2. Обобщение формулы суммы по путям на случай представлений тина крюков
и формулы для раскрашенных полиномов Александера
4.4. Проекторы не неприводимые представления как полиномы от 77-матриц

w.:'. і
4.4.1. Вывод 77-матричных выражений для проекторов с помощью матриц проекторов в специальном базисе
4.4.2. Вычисление проекторов с помощью характеристических уравнений
4.5. Примеры вычисления раскрашенных полиномов ХОМФЛИ методом каблирования
4.5.1. Вычисление полираскрашешюго полином ХОМФЛИ для зацепления кольца Борромео методом каблирования
4.5.2. Раскрашенные полиномы ХОМФЛИ четырехпрядных узлов в нервом симметрическом представлении
4.5.3. Раскрашенные полиномы ХОМФЛИ трехпрядных узлов в первом несимметрическом представлении
4.6. Оснащение в процедуре каблирования
4.7. Раскрашенные двунрядпые косы и проблема знаков и кратностей собственных значений 77-матриц
4.7.1. Двунрядпые зацепления
4.7.2. Двунрядпые узлы
5. Приложение 77-матричного формализма к эмпирическому исследованию полиномов Хованова — Рожанского
5.1. Метод
5.1.1. Простейшие примеры
5.2. Результаты
5.2.1. Эмпирический алгоритм вычисления полинома Хованова — Рожанского
5.2.2. Нетривиальный пример: зацепление 6f(v2)
6. Заключение
7. Благодарности
A. Явные формулы для перебрасывающих матриц
А.1. Диагональные 77-матрицы и перебрасывающих матриц для шестипрядпой косы .
A.2. Перебрасывающие матрицы для семипрядной косы
Б. Разложение по характерам для полиномов ХОМФЛИ
Б.1. Все 5-прядные узлы с 9 пересечениями
Б.2. Разложение по характерам полиномов ХОМФЛИ для 6-прядлых узлов с 10 пересечениями
Б.З. Пример разложения но характерам для 7-прядного узла с 12 пересечениями
B. (Поли)раскрашенные полиномы ХОМФЛИ, вычисленные методом каблирования
B.1. Полиномы ХОМФЛИ 4-нрядных узлов в представлении [2]
В.2. Полиномы ХОМФЛИ 3-ирядных узлов в представлении [21]
В.З. Полиномы ХОМФЛИ для узла 4i и зацепления 5j в различных представлениях .
В.3.1. Раскрашенные полиномы для узла-восьмерки (4i)
В.З.2. Полираскрашенные полиномы для зацепления Уайтхэда (5'f)
Г. Знаки и кратности собственных значений 77-матрицы
Г.1. Перечень нетривиальных кратностей
Г.2. Отступления от правила чередования знаков собственных значений 77-матриц при
наличии кратных собственных значений

■ ■ I I I !■
Генераторы каждой из групп удовлетворяют соответствующим групповым соотношениям (стр. 1 и 2 таб. 4, соответственно). Соотношения группы перестановок обеспечивают формальное равенство двух произведений генераторов, реализующих одну и ту же перестановку. Соотношения группы кос отвечают непрерывным преобразованиям кос в трехмерном пространстве (2.1). При этом, согласно теореме Артина [51], всякое такое преобразование можно представить как некоторую последовательность элементарных преобразований (2.1 I, II) проекции косы на плоскость.
Перейдем теперь к алгоритму построения инварианта узла. Прежде всего следует
Шаг 2.1. Представить узел в виде замыкания косы,
что возможно для произвольного узла |51]. Далее необходимо построить представление группы кос, то есть
Шаг 2.2. Сопоставить каждому генератору Ь, группы кос матрицу В,, а всякому произведению генераторов — произведение соответствующих матриц.
Нетривиальность этого шага в том, чтобы обеспечить выполнение групповых соотношений (стл. 1 таб. 4). Для этого и привлекают упомянутое выше соответствие между группой кос и группой перестановок. А именно, поскольку генераторы группы перестановок удовлетворяют также соотношениям группы кос, всякое представление группы перестановок одновременно окажется представлением группы кос.
Все неприводимые представления группы перестановок при этом известны: они находятся во взаимно однозначном соответствии с разбиениями числа элементов (диаграммами Юнга с соответствующим числом клеток) [35, 101] (см. дйлее).
К сожалению, “лишнее” соотношение группы перестановок (последние две строки стл. 2 таб. 4) оказывается слишком сильным, чтобы получить интересные инварианты узлов с помощью представлений этой группы. Известно, однако, одпоиараметрическое расширение группы перестановок, известное как алгебра Гекке [69]. Генераторы алгебры Гекке удовлетворяют соотношениям в стл. 3 таб. 4, которые также включают соотношения группы кос. Представления алгебры Гекке находятся во взаимно-однозначном соответствии с представлениями симметрической группы и сводятся к ним при частном значении параметра у = 1 (за исключением случаев дп — 1 для некоторого целого п [74]). Это, в частности, означает, что представления алгебры Гекке также нумеруются разбиениями (диаграммами Юнга), и что их размерности равны размерностям соответствующих представлений группы перестановок. Более того, известен явный вид матриц генераторов алгебры Гекке во всевозможных неприводимых представлениях (эти матрицы выписаны, например, в [75]). Мы, однако, не будем использовать здесь соответствующих формул, а вместо этого получим нужные матрицы, записывая и решая групповые соотношения “в лоб” в частных случаях (разд. 2.1.1, 2.1.2). При этом мы, однако, используем в качестве анзаца тот факт, что
Шаг 2.3. Размер лштриц, отвечающих переплетениям прядей в косе равен размерности одного из пеприводгшых представлений группы перестановок числа элементов, равного числу прядей в косе.
Если при этом
Шаг 2.4. Матрицы удовлетворяют соотношениям группы кос, то
Шаг 2.5. Произведение матриц, отвечающее данной косе, одинаково для всех изотопных кос.

Рис. 5.
Замыкание косы со
“свободной” ирядыо: значение инварианта для несвязного объединения зацеплений равно произведению значений инвариантов его компонент
1Ш1И ПН ШНВ1К11 1ПГШ1111вЯШШЛИ111Т!Г ГГМ1[ I П!!И!йт