Скрытые симметрии интегрируемых систем классической и квантовой механики и теории поля

• Автор: Ольшанецкий, Михаил Аронович
• Шифр специальности: 01.04.02, 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 236 c. : ил

Глава I. Введение

Глава II. Системы с одной степенью свободы

§ I. Движение в потенциале

§ 2. Движение в потенциале V О*

• Ч

§ 3. Движение в потенциала и-И

§ 4. Движение в потенциале £4)

§ 5. Движение в потенциале 0^

§ 6. Движение в потенциале

§ 7. Движение в потенциале ск^

Глава III. Описание систем

§ I. Описание систем. Частные случаи
§ 2. Системы корней
§ 3. Описание систем в терминах систем корней
§ 4. Результаты, главы
Глава IV. Полная интегрируемость классических систем
§ I. Некоторые разложения в простых алгебрах и группах
§ 2. Исследование полной интегрируемости
§ 3. Решение функционального уравнения
§ 4. Результаты главы
Глава V. Явные решения уравнений классических систем
§ I, Системы типа I л У
§ 2. Системы типа П и Ш
§ 3. Системы с двумя типами частиц
§ 4, Обобщенные непериодические цепочки Тоды
§ 5. Результаты главы
Глава V1, Квантовые системы
§ I. Явные формулы для квантовых интегралов движения
§ 2. Квантовые интегралы движения. Общий случай

§ 3. Волновые функции. Общие формулы
§ 4, Системы типа I
§ 5. Системы типа Ш
§ 6. Системы типа У
§ 7. Трехчастичная цепочка Тоды
§ 8. Результаты главы
Глава VП. Двумеризованные цепочки Тоды с коммутирующими
и антикоммутирующими полями
§ I. Описание систем
§ 2. Некоторые сведения об аффинных алгебрах Ли
§ 3. Представление нулевой кривизны
§ 4. Законы сохранения
§ 5. Спектр масс
§ 6, Вычисление классической Чу -матрицы
§ 7. Дополнительные замечания
§ 8, Результаты главы
Заключение
Литература

ГЛАВА I ВВЕДЕНИЕ За последние пятнадцать лет в теоретической и математической физике значительно вырос интерес к точно решаемым системам. Этот интерес и связанные с ним успехи в большой степени обязаны новой концепции в теории интегрирования нелинейных систем, кото** рую принято условно называть методом обратной задачи рассеяния (МОЗР). Популярность метода объясняется как широтой физических приложений, включающих такие области как гидродинамика, физика плазмы, теория твердого тела, теория поля, так и разнообразием и красотой математических структур, лежащих в основе метода.
Появление МОЗР связывают с работой Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [98] , посвященной интегрированию уравнения Кортевега-де Фриза (К-дФ). Важным этапом в развитии МОЗР стала работа Захарова и Фаддеева [183] , в которой была дана гамильтонова трактовка уравнения К-дФ. Понимание того, что "феномен К-дФ" не является исключением, но что подобный механизм работает в широком круге явлений, возникло после работы Захарова и Шабата [21] , в которой исследовалось нелинейное уравнение Шредингера. С тех пор началось бурное развитие этой новой области теоретической и математической физики, которое продолжается и в наши дни.
Так как большая часть диссертации посвящена конечномерным системам, то остановимся сначала на этом аспекте развития теории. До упомянутых событий было известно лишь небольшое число точно решаемых систем с двумя или больше степенями свободы.
Здесь уместно привести следующее бесспорное утверждение: "Анализ общей потенциальной системы с двумя степенями свободы выходит за рамки возможностей современной науки" ( [2] стр. 22).

системы корней Я
Например, если пространство ^ одномерно (ранг равен единице), то вектора об и -об образуют систему корней ранга один.
Опишем системы корней ранга 2. В качестве группы Кокстера возьмем группу симметрий правильного -угольника ,
порожденную отражениями.Система корней & состоит из векторов, проведенных из центра .к - вершинам. Группа №
обозначается —д О») и называется диэдральной группой. Отметим, что при нечетном М группа и переводит произвольный корень в любой другой. Если же УА четное число, то множество корней разбивается на две орбиты группы Кокстера. Два соседних корня принадлежат разным орбитам.
Проведем в пространстве плоскость так, чтобы она не содержала ни одного корня. Корни, лежащие по одну сторону от плоскости, называются положительными. Обозначим их Я,ц. . Множество векторов вида
Д^ } (3.18)
называются камерой Вейля в
Среди положительных корней можно выбрать такое подмножество П корней, что корни из П не могут быть представлены как суммы с положительными коэффициентами других корней из . Эти корни называются простыми. Они образуют базис пространства & и, следовательно, их число равно рангу. Любой корень из Я, раскладывается по простым:
(ЗЛ9)
ОІ6П
где »А числа одного знака.