Эффективное решение некоторых граничных, гранично-контактных и смешанных задач классической теории упругости и термоупругости

• Автор: Цагарели, Иван Иванович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 169 c. : ил

Задачи теории упругости стали предметом исследований, как только были найдены основные уравнения движения упругой среды. Интенсивная работа продолжается и в настоящее время для применения существующих методов решения основных задач теории упругости к новым задачам, возникающих при анализе напряженно-деформированного состояния в различных условиях деформации, при наличии значительных градиентов температур, термо- и бародиффузии, нестационарных, электромагнитных полей и других явлений немеханического характера. С другой стороны появление быстродействующих электронных вычислительных машин поставило вопрос решения задач теории упругости (в некоторых случаях - заново) в удобном для численных реализаций виде.
Предлагаемая работа посвящается эффективному решению некоторых граничных, контактных, гранично-контактных и начальнограничных задач теории упругости и термоупругости в виде позволяющим наиболее эффективное применение ЭВМ.

Работа состоит из четырех глав и двух приложений.

В первой главе решаются задачи упрощенной теории термоупругости, известной под названием несвязанной, температурно- напряженной, гсвазистатической, а также при стационарном температурном поле - статической. В теории температурных напряжений, которая восходит к истокам теории упругости и за последнее время интенсивно развивается ввиду ее растущего прикладного значения, исследуется классическое уравнение теплопроводности, не содержащее члена связанного с деформацией тела. Задачи решаются здесь в следующем порядке: на основе уравнения теплопроводности находится распределение температуры в теле, а затем решают-

;я уравнения теории упругости в смещениях, содержащие уже накден-ше члены, зависящие от градиента температуры.
Не имея возможности хотя бы вкратце остановиться на обозре-ши имеющих многочисленных работ, упомянем что важные результаты юследованин и методы решения задач несвязанно!: теории термоупру-?ости изложены в книгах Б.Боли, Дж.Уэйнер [13], А.Н.Динник [29] ,
I.Д.Коваленко [32] , Б.Г.Коренев [33] Н.Н.Лебедев [45] , В.М.Мак-зель [49], Э.Мелан и Г.Паркус [51], В.Новацкии [61,63], С.П.Ти-лошенко, Дж.Гудьер[77], а также в статьях В. И. Данилов скал [27],

7. Н. Маслов [50], Н.И.Мусхелишвили [54], П.Ф.Папкович [бб] и др.

3 этих работах имеются также подробные исторические и библиографические справки.

За последние двадцать лет начались интенсивно развиваться исследования и по более общей, чем теория температурных напряжении, теории связанной термоупругости, где учитывается взаимное злияние полей деформации и температуры, В этом направлении отметим работы Я [ 91] , Т.В.Бурчуладзе [15], 0- мо3 [92],
1оп&Ш- СлгИгиг V. [93] , 1.7епЫсХ [95], Н.С.Кахниашвили [30],
З.Д.Купрадзе, Т.В.Бурчуладзе [39-41] , В.Новацкии [62,63], Я.С. 1одстригач [71], Я.С.Подстригач, Р.Н.Швец [72], Р.Н.Швец[88]и др.
Чаще всего в работах по несвязанной теории термоупругости рассматриваются задачи с первой (на границе заданы вектор смещения и температура или поток тепла) или второй (заданы вектор тер-лонапряжения и температура или поток тепла) основными граничными условиями, причем в явном виде получены решения в основном для симметрично нагруженных и симметрично нагретых круговых областей.
В §1 настоящей работы, используя результаты решения первой и второй основных задач статики классической теории упругости, подученные М.О.Башелейшвили [з,з], а также формулы Пуассона и Дини (решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа) эффектив-

но (в квадратурах) решаются не только первая и вторая, но и третья (на границе заданы нормальная составляющая вектора смещения и касательная составляющая вектора термонапряжения, а также температура или поток тепла) и четвертая (заданы касательная составляющая вектора смещения и нормальная составляющая вектора термонапряжения, а также температура или поток тепла) основные граничные задачи статики термоупругости для круга и бесконечной плоскости с круговым отверстием.
В §2 эффективно (в рядах) решены гранично-контактные задачи термоэлаетостатики для кусочно-однородных круга и кольца. В этих задачах на границе тела задаются одно из основных краевых условий а на контактных линиях, являющихся концентрическими окружнос-тьми, разные условия сопряжения векторов смещений и напряжений.
Вторая Глава IIосвящается эффективным решениям динамических задач теории упругости в общей постановке для круговых областей. Задачи динамики классической теории упругости исследованы многими авторами. Доказательство теорем существования и единственности решений основных пространственных и плоских начально- граничных задач динамики однородного изотропного и анизотропного упругого тела с конечной границей методами теории потенциалов и интегрального преобразования Лапласа было получено в работах Т.В. Бурчуладзе [к], Т.Г.Гегелиа [20] , В.Д.Купрадзе, Т.В.Бурчуладзе [42, 4з], а также М.О.Башелейшвили, Д.Г.Натрошвили [9]. Другим методом, основанным на общем представлении решения динамических уравнений с помощью произвольных гармонических, аналитических функций и специальных потенциалов динамические задачи исследованы в работе Л.Г.Магнарадзе [48]. Для неоднородных упругих тел методами функционального анализа динамические задачи исследованы в работах Т.Г.Гегелиа, О.И.Маисаиа [21], Г.Фикера [80] . Теоремы существования и единственности имеются также в работе

имеют место неравенства
1і і < * і и11 -= і- , ҐУ- и - , к=№ •*•**'
1 и Зп 1 ' ТГз * І I - па * 1 и- 1 М
Как видно из систем (2.29) и (2.33) и формул (2.34),
(2.31) и (2.24), для этого достаточно [55] потребовать от граничных функций выполнения следующих условий: и-о (кч) (кч) (кч) , (К-1)
Ч'(г)€ с Ясг^фСг), ^(г)еС( 8^), дЛг),
(КЧ) , (пл) ^ 2 /- •.
дг(ї)ЄС (8кч), к = 2,т ; ¥Сї), |(*КС ($"0В случае задачи А а без изменения надо использовать
решение задачи А і , а в задаче I в правых частях ПОСЛЄДсм) о»*)
них уравнений систем (2.28) и (2.29) вместо Ч'о и нужно записать соответственно выражения
0*4) Гтч) П (гл) ^ 0 Гт)
I, + . р В М и/ тл ^ (>( ^ + Єп_ Р Л. ядЦ
ЫЗо* *~о ~ 1о И (т, + " + '
Б* 5г) '?у'
которые получаются из граничного условия на 5 ;
>{гп) , + Ст)
| =Ф(г) с учетом соотношений (2.6) и (2.3).
^ ] л
Совершенно аналогично решаются и остальные задачи ,
где £= 2,3,4, і = ^>2/,
Так же решаются задачи для составного кругового кольца (когда вместо круга Фі - пустота). В этом случае задачи ставятся аналогично перечисленным выше, только к граничным условиям на (т.е. к условиям (2.4) ) добавляются еще условия на Зі того же вида, что на . Назовем эти задачи
задачами 6 е ^ и, для примера, решим задачу В ц і
ОО (к) (к) .
Регулярное решение (/ = ( ш , ІД3 у і к= 2/,ту этой задачи должно удовлетворять системе (2.1), контактным условиям (2.2) и (2.3) (где К=з,т ) и следующим граничным условиям: