Численное решение трехмерных динамических задач теории упругости и пластичности на основе ажурной вариационно-разностной схемы

• Автор: Крутова, Ксения Алексеевна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 144 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Постановка задач динамики упругопластических сред и вариационно-разностный метод решения
1.1 Обзор современного состояния численных методов решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела
1.2 Постановка задачи нестационарной динамики упругопластических сред
1.2.1 Вывод уравнений нестационарной динамики упругопластических сред в метрике начального состояния
1.2.2 Вывод уравнений в геометрически и физически линейном варианте
1.2.3 Вывод уравнений нестационарной динамики упругопластических сред в текущей конфигурации
1.3 Методика численного решения
Глава 2. Ажурная вариационно-разностная схема
2.1 Ажурная сетка
2.2 Метод построения нерегулярных ажурных сеток путем дополнительного разбиения ячеек
2.3 Метод построения нерегулярных ажурных сеток путем построения двудольного графа
2.4 Особенности реализации ажурной схемы
2.5 Алгоритм и программная реализация расчетного модуля ажурной схемы
2.5.1 Алгоритм реализации ажурной схемы на подвижной сетке
2.5.2 Алгоритм решения задачи на неподвижной сетке
2.5.3 Описание программы
2.6 Краткие выводы по главе
Глава 3. Аппроксимация и устойчивость вариационно-разностных схем
3.1 Аппроксимация вариационного уравнения
3.1.1 Аппроксимация ажурной схемы
3.1.2 Аппроксимация суперажурной схемы
3.1.3 Аппроксимация схемы на 5 тетраэдрах

3.1.4 Аппроксимация схемы Уилкинса
3.1.5 Аппроксимация схемы на 6 тетраэдрах: поворотно-симметричное разбиение
3.1.6 Аппроксимация схемы на 6 тетраэдрах: центрально-симметричное разбиение
3.1.7 Аппроксимация схемы на 6 тетраэдрах: несимметричное разбиение
3.2 Устойчивость трехмерных ажурных схем
3.3 Краткие выводы по главе
Глава 4. Решение нестационарных задач упругого и упругопластического деформирования твердых тел
4.1 Численное решение упругих задач в линейной постановке
4.2 Численное решение упругих задач в геометрически нелинейной постановке
4.3 Численное решение упругопластических задач
4.3.1 Расчет упрутопластической деформации ударника
4.3.2 Динамический изгиб бруса с отверстием
4.3.3 Динамический изгиб упругопластической балки под действием взрыва
4.3.4 Динамический изгиб круглой пластины под действием импульсной нагрузки
4.4 Краткие выводы по главе
Заключение
Список литературы

Введение
Актуальность темы
За последние десятилетия численные методы стали одним из важнейших инструментов механики деформируемого твердого тела. Решение нелинейных задач механики для тел сложной геометрии с подробным учетом больших деформаций, нелинейных свойств материалов без численных методов невозможно. Поэтому совершенствование численных методов решения задач механики сплошных сред, повышение их точности и эффективности - весьма актуальная задача. В настоящее время это особенно актуально применительно к решению трехмерных задач.
В работах В.Г.Баженова и Д.Т.Чекмарева [12,13] была предложена вариационно-разностная схема решения динамических задач теории оболочек (модель Тимошенко) на треугольных ячейках, в которой часть ячеек не использовалась в расчетах. Там же была обоснована более быстрая сходимость данной схемы по сравнению с традиционной.
Эта идея была обобщена Д.Т.Чекмаревым на трехмерные задачи в [99,101]. Предварительный анализ и решенные тестовые задачи показали перспективность подхода, при котором конечные элементы в виде тетраэдров заполняют расчетную область не сплошь, а с регулярными промежутками, что позволяет в разы уменьшить их число и тем самым значительно снизить вычислительные затраты без потери точности. Таким образом, реализация данного подхода, включающая разработку методики, алгоритмов и программ решения трехмерных нелинейных нестационарных задач теории упругости и пластичности, а также комплексное исследование их точности и эффективности, представляется весьма актуальной.
Степень разработанности темы. Предлагаемая в работе численная схема решения трехмерных нестационарных задач теории упругости и пластичности основывается на хорошо разработанных вариационно-

произведение трех ребер тетраэдра, равное с точностью до знака шести его объемам.
Для разностных операторов, аппроксимирующих пространственные производные, введем обозначения с/, (/=1,2,3): оператор с/, аппроксимирует производную по /-й координате, любой из операторов Д допускает представление в виде
к/),= !>*'/*. (/ = 1,2,3), (1.19)
М* О))
где) - номер ячейки, к()) - множество узлов, инцидентных)-ой ячейке, коэффициенты могут быть определены из формул (1.17).
Перейдем к аппроксимации вариационного уравнения (1.2). Покроем область основной сеткой из N1 ячеек и N2 узлов. Соответственно двойственная сетка будет состоять из N2 ячеек и N1 узлов. Будем считать неизвестные перемещения и,,м2,м3 и внешнюю нагрузку определенными в узлах основной сетки, напряжения а,- в ячейках основной сетки (узлах двойственной сетки), граничные усилия - в граничных узлах основной сетки. Заменим в вариационном уравнении (1.2) интегралы по области V и поверхности Б конечными суммами. При этом интеграл, имеющий смысл вариации внутренней механической энергии тела, будем аппроксимировать суммой по ячейкам основной сетки, а интеграл от внешних сил (включая инерционные) - суммой по ячейкам двойственной сетки. Таким образом, вариационное уравнение (1.2) аппроксимируется вариационно-разностным уравнением

Хі риг3и - 8и'
-Xа5:
Х^ 5и<
= 0. (1.20)
После дискретизации по пространству получим систему обыкновеных дифференциальных уравнений относительно узловых перемещений. Используется классическая численная схема типа «крест», производная по времени заменяется сеточными операторами: