Применение метода начальных параметров к определению динамических состояний центрально-сжатых прямых неоднородных стержней

• Автор: Чадаев, Юрий Андреевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 82 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Постановка задачи о сжато-изогнутом стержне

1.1. Основные гипотезы и вариационное уравнение

1.2. Дифференциальные уравнения состояния стержня

1.3. Последовательные приближения, модальное разложение и метод

начальных параметров

2 Статические и динамические задачи для центрально-сжатых стержней

2.1. Определение продольной силы

2.1. Простейшая задача - плоский статический изгиб стержня

постоянной продольной силой

2.1.1 Задача о шарнирно-опертом по двум концам стержне
2.1.2 Задача о защемленном одним концом стержне
2.1.3 Задача о стержне, защемленном одним концом и шарнирно-опертом другим
2.1.4 Задача о стержне, защемленном одним концом со скользящей заделкой на другом
2.2. Свободные поперечные колебания при продольной силе, не
зависящей от времени (консервативные задачи)
2.2.1 Колебания шарнирно-опертого по краям стержня
2.2.2 Колебания стержня, защемленного одним концом
2.2.3 Колебания стержня, один конец которого защемлен, а на другом - скользящая заделка
2.3. Неконсервативная задача - стойка, защемленная в начале,
нагруженная следящей нагрузкой на конце
2.4. Свободные поперечные колебания стержня при продольной силе,
переменной по длине
3 Интервальные оценки критической силы для стержней переменной
жесткости
3.1. Модификация алгоритма метода начальных параметров
3.2. Верификация метода
3.3. Оценки критической силы для конического стержня

3.4. Оценка критической силы для стержня с непрерывным изменением
поперечного сечения
3.5. Методика интервальной оценки критической силы стержня переменного сечения
Выводы по разделу
Заключение и выводы
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Постоянное развитие отраслей промышленного, гражданского и энергетического строительства подразумевает наличие стержней в качестве основных несущих элементов строительных конструкций. Основной нагрузкой на вертикальные элементы каркаса строительного сооружения является вес элементов конструкции и пространственная система сил, обусловленная присоединением горизонтальных элементов каркаса, плит перекрытия, весом установленного оборудования и т. д. Таким образом, моделью каркасного здания является система упругих стержней, часть из которых нагружена продольными сжимающими и поперечными нагрузками. Несущая способность таких элементов зависит не только от площади их поперечного сечения, длины, условий закрепления, формы поперечного сечения, материала, по и от взаимного влияния простейших состояний: поперечного изгиба и продольного растяжения/сжатия. Общеизвестно, что при сжимающей продольной нагрузке при достижении ею определенной критического величины может произойти потеря устойчивости начального прямолинейного состояния и переход к криволинейной форме, в которой присутствуют силовые и кинематические факторы, характерные для состояния изгиба. Массовость применения модели требует учитывать как статический, так и динамический характер нагрузок.
Решение проблем прикладных задач устойчивости стержней встречается еще в работах JI. Эйлера, Д. Бернулли, Ж. Лагранжа, Ж. Даламбера. Более поздние научные исследования в этом направлении приведены в работах Кармана 'Г., Николаи Е.Л., Тимошенко С.П., Шенли Ф., Рокара I I, Хоффа 11., Джанелидзе Г.Ю., Пановко Я.H., Феодосьева В.И, Толоконникова Л.Л., Вольмира A.C., Болотина В.В,, Зубчанинова В.Г., Ржаницына А.Р.
Применительно к упругим стержням основные результаты, достигнутые в 30-х годах прошлого века, показали, что классический подход Эйлера, основанный на рассмотрении устойчивости статического состояния, в некоторых задачах приводит к парадоксальным результатам: например, «парадокс Николаи» заключается в том, что сжатый следящей силой и закрученный стержень всегда устойчив. Такого рода парадоксы привели к разделению задач устойчивости на консервативные и неконсервативные. Соответственно появились и новые методы решения неконсервативных задач, основанные на анализе малых колебаний стержня вокруг положения равновесия. Таким образом, к задачам теории устойчивости стержней оказались применимыми методы математической теории устойчивости движения [26]. Полученные в рамках динамического подхода новые решения приведены в монографиях
В.В. Болотина [14] и A.C. Вольмира [20].

2 к -
со5(аЬ) = 0ак1 = —л, к - 1,2,3
А,э л-2£У
кр ~ 2 ' ^ ~
(М) ‘ (2.30)
Полученное значение критической силы в точности соответствует решению [77].
2.1.3 Задача о стержне, защемленном одним концом и шарнирно-опертом
другим.
Пусть стержень защемлен концом х=0 (г(0)=0, 6(0)=0),а на другом конце х=Ь— шарнирная опора (у(7.)=0, М(Ь)=0). Тогда у()=0, <9о=0, а для определения недостающих начальных параметров имеем систему уравнений:
МШ = ува.а.М„,0„) з=0;
уЩ = ув(к,а,М„.0„)[ =0. (2.31)
Решение системы дает начальные параметры:
,+ с]Ь аЬ^\(аЬ)-2[с\{аЬ)-]
М А = ■
2а aLch{cxL) - sh(«T)
+ _ q a2L2 ch(aL)-2ch{aL)-] ^
0 2 a aLch(aL)-sh(aL)
_ cß, aLsln(aL) - 2[1 -cos(«Z.)] M о ~ ;
2 a s m( al. )-al с os {aL)
2[cos(o7.)-11 + a21} cos(orT)
{Jq —
2 sin(örl)- aLcos(aL)
Mj = lim M0 = lim Л7(Г =
0 «->o 0 «->»
а° = Й,а‘=Йа'=-^Г- (2.32)
Решение при сжимающей силе не ограничено при
sin(aZ.)-a/.cos(o'L) = 0. (2 33)
Численное решение (2.33) дает наименьший корень
aL = 4.493. (2.34)
Выражение для критической силы получает вид:
/' = 0-694.
(МП (2.35)