Условие Лежандра-Адамара в нелинейной теории упругости

• Автор: Гурвич, Евгений Львович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 129 c. : ил

При решении конкретных задач теории упругости правдоподобных результатов можно ожидать только в том случае, когда на удельную энергию деформации наложены некоторые дополнительные, отвечающие интуитивным представлениям о поведении материала ограничения [ф, 15, 23^. В то время, как в классической линейной теории общепринятым и, по существу, единственным таким ограничением является требование положительной определенности задающей удельную энергию квадратичной формы (ЁзЗ, в нелинейной теории ситуация значительно сложнее. Наличие в натуральном состоянии минимума удельной энергии не гарантирует при рассмотрении больших деформаций даже существования устойчивых решений краевых задач [зоЗ» Среди большого количества различных дополнительных условий, которые, по мнению выдвинувших их авторов, должны учитываться при выборе закона состояния упругого материала, как наиболее существенное может быть выделено так называемое условие Лежандра-Адамара (сокращенно УЛА).
Введенное в 1902 году Адамаром [збЗ при изучении многомерных задач вариационного исчисления указанное условие, начиная с 50-х годов, рассматривалось в контексте нелинейной теории упругости. Было показано, что выполнение УЛА, практически совпадающего с условием гиперболичности системы дифференциальных уравнений движения, эквивалентно действительности скоростей распространения волн малой амплитуды в упругой среде [з*. 5б], была установлена его роль как необходимого условия устойчивости любой равновесной упругой деформации [57]. Специализация УЛА для изотропного материала дана в [5бЗ, связь с теоремами существо-

вания нелинейной теории упругости обсуждалась в [30], ряд частных результатов получен в 29, 40, 48-54]. Среди отечественных авторов, внесших существенный вклад в выяснение значения УЛА для нелинейной теории упругости, следует назвать С.К.Годунова, А.И.Лурье, Е.И.Роменского, среди зарубежных - Р.Ривпина, К.Трусделла, Д.Эринсена. Однако в существующих исследованиях данной тематики имеется ряд пробелов. Так, например, применение известной методики проверки УЛА для изотропного материала [493 значительно осложнено необходимостью исследования ряда неравенств, зависящих от вспомогательных параметров; недостаточно изучено значение этого условия при рассмотрении упругих материалов с наложенными связями; не исследованы некоторые важные конкретные материалы.
Цель данной работы заключается в том, чтобы восполнить как указанные, так и некоторые другие имеющиеся в литературе пробе- ■ лы, а также дать связное изложение ряда уже известных основных результатов, касающихся применения УЛА в нелинейной теории упругости.
Дадим обзор содержания работы, состоящей из настоящего введения, двух глав и заключения, в котором приведена сводка полученных результатов.
В главе I после предварительного рассмотрения необходимых понятий и соотношений нелинейной теории упругости сформулировано УЛА и изучено, каким образом его выполнение [или нарушение) отражается на поведении упругого материала.
В § 1.1 в удобном для дальнейшего изложения виде приведены некоторые, по существу, известные соотношения для производных удельной энергии деформации [15, 573* Введены разновидности

форм напряжений (связанных с первыми производными энергии) и форм упругости (связанных со вторыми производными), применение которых вместо соответствующих разновидностей тензоров напряжений и тензоров упругости придает используемым формулам большую наглядность и компактность. Формы Пиола (названные так из-за их связи с тензором напряжений Пиола) определяются наиболее просто с математической точки зрения; формы Коши (связанные с тензором напряжений Коши) естественно появляются (например, при исследовании линеаризованных уравнений движения), когда для описания деформации в качестве независимых используются координаты точек тела в деформированном состоянии; экспоненциальные формы удобно применять при работе с несжимаемым материалом. Изучены свойства введенных форм, вытекающие из объективности энергии, для изотропного материала получены их представления через производные задающей энергию функции главных растяжений, рассмотрено поведение этих форы в стационарной точке.
В § 1.2 сформулировано УЛА и рассмотрены некоторые связанные с ним общие свойства удельной энергии деформации. Поскольку значение УЛА для теории упругости установлено лишь в § 1.3, изложение носит формальный, предварительный характер. Показано, что наличие в данной точке минимума удельной энергии влечет за собой выполнение в этой точке УЛА, но не наоборот [га], дана формулировка УЛА, применимая для несжимаемого материала. Исследовано важное свойство поливыпуклости, также первоначально введенное Адамаром [37] и играющее большую роль при доказательстве теорем существования краевых задач нелинейной теории [зсГ]. Доказано, что поливыпуклая энергия всюду удовлетворяет УЛА, сделана попытка дать физическую интерпретацию условия поливы-

и что неравенство [1.3.17) с заменой £2 на следует из
выпуклости £2+ . Из (1.3.17), взяв
^ вЗГА + ~ Ы >у1° - -ъх*. ~ ^ ~ 0 ;
получим, введя для данных ^Х} Уз, функции ч//)х = ^к
/ 1 (О / 3^ Э Хх Яг| I , х
Е(Ух;^)— 1 и0 ( эосА'1' ЭЗСЛ > ЪОС^ ъхл/ с^х* х* '
-а.
>. Г п (21± + 21** —1- Л?» ) 4 хл&х* +

поскольку из обращения в ноль на границе
Ксс следует
{^1хЛх-^0} ^=±,1,Ъ.
J Э Хд'

2) сЛ < & . Докажем, что в этом случае наименьшее
значение функционала Е ( Уа, Узу) равно нулю, а деформация
( ) У1) не доставляет Е ДаЕа локального минимума.
Введя полярные координаты, рассмотрим для некоторой функции Ь деформацию (х>Л) вида
Ф = у + А | у>|4 Л.