Построение и анализ аналитических решений некоторых двумерных статических задач несимметричной теории упругости

• Автор: Кулеш, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 100 с. : ил

Оглавление
Введение
1. Основные уравнения несимметричной теории упругости
1.1. Тензор моментных напряжений
1.2. Вывод уравнений равновесия и движения для напряжений и моментных напряжений
1.3. Геометрические соотношения
1.4. Физические уравнения
1.5. Уравнения движения для векторов перемещения и поворота
1.6. Среда псевдокоссера
1.7. Частный случай: декартовая система координат
1.8. Частный случай: цилиндрическая система координат .
2. Задача о сдвиговом деформировании слоя (пластины)
2.1. Решение в рамках среды Коссера
2.2. Решение в рамках среды псевдокоссера
3. Задача о кручении плоского кольца
3.1. Решение в рамках среды Коссера
3.2. Решение в рамках среды псевдокоссера
4. Задача о деформировании плоского кольца

4.1. Решение в рамках среды Коссера
4.2. Решение в рамках среды псевдокоссера
5. Задача Кирша о растяжении бесконечной плоскости, ослабленной круговым отверстием
5.1. Решение в рамках среды Коссера
5.2. Решение в рамках среды псевдокоссера
6. Построение точного аналитического решения для тела вращения в рамках среды Коссера
7. Анализ решений
8. Выводы по работе
Литература

Введение
Задачи о деформировании материала, при котором деформация среды описывается не только вектором перемещения й, но также вектором поворота и>, давно привлекают внимание исследователей. Среду, моделируемую таким образом, сегодня часто называют средой Коссера, а за теорией в литературе закрепились названия мо-ментной, несимметричной, а также микроструктурной теории упругости.
В этих моделях, в отличие от классической теории, напряжённое состояние описывается несимметричным тензором напряжений, поэтому упругие тела в несимметричной теории характеризуются большим числом упругих констант. Необходимость подобного усложнения нередко оправдывают тем, что с помощью даваемых в классической теории упругих (и пьезоэлектрических) констант невозможны трактовки, например, аномального пьезоэффекта в кварце, дисперсии упругих волн в сплошной среде, а также упругих свойств кварца, алмаза, дигидрофосфата аммония и других кристаллов [2].
Потеря точности в классической механике континуума может происходить по следующей причине. Если ищется реакция тела на внешнее физическое воздействие, характерный размер которого соизмерим со средним размером зерна или молекулы в теле, то зернистые или молекулярные составляющие тела возбуждаются индивидуально. В этом случае должны приниматься во внимание внутренние движения составляющих. Это становится особенно ярко выражено в связи

Соотношения (2.8) и (2.7) являются общими решениями системы (2.5), в чём можно легко убедиться непосредственной подстановкой.
С точки зрения удобства анализа получаемых решений все величины приведём к безразмерному виду. Пусть I - характерный геометрический размер, / - характерная массовая сила [~щ]. Обозначим

символом ? размерные величины, которые связаны с безразмерными следующими соотношениями:
1и^ Д^г’у , |^гj ЬЧМ]Дг'У — Тр ) ~Х.Ц ~ у Х.Ч)
Ж = /ж, Со = /Со, С2 = /С2, С3 = /С3.
Используем также ранее введённые (1.18) безразмерные величины И, В, С. Тогда окончательный вид решения запишем в виде:
иу( х щДж
1ху{х

<7жДж

= С, + С2ж + Сзе2Ах + САе~2Ах + |ж2,
= + С3АВе2Ах - С4АВе-2Ах + £с,
= %- С5А(В - 2)е2Ах + С4А(В - 2)е~2Ах + | = 0%- + С$АВе2Лх - С4АВе~2Лх + |ж,
= 2 СъА2Ве2Ах + 2 С4А2Ве-2Ах +
= /ж + С2,
= /ж + С2 + 4С3Не2^
(2.9)
= 2С3е2Лаг + 2С4е“2Лз; +
4С4Ие-2^, /
= С/ГцДж).
Компоненты тензора деформаций получены с использованием кинетического соотношения (1.13) и соотношения для градиента вектора в декартовой системе координат (1.24). Для отыскания компонент тензора напряжений использовано определяющее соотношение (1.15).
Компоненты тензора изгиба-кручения получены с использованием кинетического соотношения (1.14) и соотношения для градиента вектора в декартовой системе координат (1.24), а тензора моментных напряжений - с использованием определяющего соотношения (1.16).