Исследование нелинейных гибридных систем методом матричных неравенств

• Автор: Сейфуллаев, Руслан Эльманович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 80 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Вспомогательные сведения
1.1 8-процедура
1.2 Метод скоростного градиента
1.3 Неравенство Иенсена
1.4 Неравенство Буняковского
2 Анализ устойчивости дискретно-непрерывных нелинейных многосвязных систем .
2.1 Постановка задачи
2.2 Основные результаты
2.2.1 Случай стандартного функционала Ляпунова-Красовского
2.2.2 Случай расширенного функционала Ляпунова-Красовского
2.3 Анализ робастной устойчивости
3 Приложения к исследованию дискретного управления механическими системами .
3.1 Управление маятником
3.2 Робастное управление маятником с трением
3.2.1 Случай неопределенного коэффициента трения
3.2.2 Случай неопределенной массы
3.2.3 Случай неопределенной длины
3.2.4 Случай неопределенных коэффициента трения, массы и длины
3.3 Синхронизация грех мобильных роботов
3.4 Маятник на тележке
3.4.1 Алгоритмы раскачки и стабилизации
3.4.2 Лабораторные установки маятниковых систем
3.5 Синхронизация систем «маятник на тележке», управляемых через сеть
4 Управление маятником с квантованием

4.1 Постановка задачи
4.2 Основной результат
4.3 Численный пример
Заключение
Список рисунков
Литература

Введение
Современные системы управления, как правило, реализуются на компьютерах, в следствие чего их математические модели включают как непрерывную так и дискретную части, т.е. являются гибридными. При расчете и реализации таких систем возникает важная задача выбора шага (интервала) дискретизации, обеспечивающего устойчивость и приемлемое качество системы. С 1950-х годов предлагались различные подходы к решению данной проблемы (см., например, [33,46,47]), которая становилась все более актуальной с началом широкой популяризации сетевого управления. Даже для линейных систем эта задача не является тривиальной, если требуется не просто доказать, что при достаточно малом шаге дискретности система сохраняет свойства непрерывной, а найти достаточно хорошие, «неконсервативные» оценки предельно допустимой величины шага дискретизации. Для нелинейных гибридных систем поставленная задача, несмотря на её важность, изучена недостаточно.
В последние годы в мировой литературе вырос интерес к подходу, основанному на преобразовании дискретно-непрерывного описания системы к виду систем с переменным (пилообразным) запаздыванием. Идея подхода не нова: он применялся в работах А. Д. Мышкиса [15], Ю. В. Михеева, Э. М. Фридман, В, А. Соболева [14,27], а метод функционалов Ляпунова-Красовского [10] широко применяется для анализа систем с запаздыванием (например, см. [8,50]). В начале 2000-х годов в работах Э.М. Фридман и ее соавторов были получены результаты с использованием обобщённого функционала Ляпунова-Красовского [42] в сочетании с дескрипторным методом исследования систем с переменным запаздыванием [40]. Подход приобрел эффективную расчетную составляющую, основанную на линейных матричных неравенствах (ЬМ1), и превратился в мощный метод расчета, позволяющий существенно снизить консервативность оценок [41-43,55]. Однако до недавних пор метод переменного запаздывания и его расширения применялись только к линейным системам [37,45,51,58,59,61]. Даже для такого хорошо исследованного класса систем как системы Лурье [5,7] с нелинейностями, удовлетворяющие секторным квадратичным связям, соответствующие результаты отсутствовали. В то же время секторным связям удовлетворяют многие важные классы нелинейности, такие как синусоидальные нели-

Рисунок 3.2: Секторная нелинейность
Предположим, что управление задано в следующем виде:
У-і{і) IV Т &г2Є?(4)) ^ = 1, 2, 4 ^ І < 4+ Її
(3.13)
где 4+і - 4 = Н.
Тогда систему (3.9), (3.13) с параметрами V — 0.1, ки — кп = 3, кп = к22 = 11 можно переписать следующим образом:
х(і) = ах (і) + окх(ік) + + ^б(4,<г(0),
(3.14)
vhere X =
Єї 0 0.1 0 0 0 0 0.1
Єї 0 0 0 0 1 0 0
, Л = , О = , Рх = , =
Є2 О О 0 0.1 0 0 0 0.
£2 О о 0 0 0 1 0

-3 -1.1 о о
0 0-3 -1.
В Таблице 3.3 представлены максимальные значения к, для которых система (3.14) устойчива, полученные с помощью Теоремы 2 из [30], Теоремы 2.2 и моделирования.
Теорема 2 из [30] Теорема 2.2 Моделирование
к = 0.16 к = 1.32 к = Л», 1.80 < /г, <1.
Таблица 3.3: Максимальная граница на шаг дискретизации