Асимптотическая устойчивость и локальная единственность решений двумерных сингулярно возмущенных задач с пограничными и внутренними слоями

• Автор: Неделько, Илья Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 102 с.

Оглавление
Введение

Краткое содержание работы

Глава 1. Теоремы существования для эллиптических,и параболических задач. Достаточные условия устойчивости

§1. Основные обозначения

§2. Принципы максимума и сравнения

§3. Теоремы существования решений эллиптической задачи

§4. Теорема существования решения параболической задачи

§5. Теорема об асимптотической устойчивости

Глава 2. Общие теоремы о существовании, единственности и асимптотической устойчивости решений сингулярно возмущенных краевых
задач
§1. Формулировка основных результатов
§2. Доказательство теоремы (2.1)
§3. Доказательство теоремы (2.2)
Глава 3. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность
решений двумерных сингулярно возмущенных краевых задач
§1. Контрастная структура типа ступеньки в критическом случае
§2. Контрастная структура типа ступеньки в некритическом случае
§3. Контрастные структуры типа ступеньки при других условиях
§4. Контрастные структуры типа ступеньки с несколькими переходными
слоями
§5. Погранслойные решения
Литература

Введение.
В последние годы в теории сингулярных возмущений активно исследуются решения с внутренними переходными слоями. Такие решения получили название ”кон-трастные структуры” [1] (далее имеются ввиду решения нелинейных эллиптических задач с малыми параметрами при старших производных, рассматриваемых в односвязной ограниченной области).
Контрастная структура типа ступеньки (КСТС), а именно о таких контрастных структурах пойдет речь в данной работе, характеризуется наличием внутренних переходных слоев (в двумерном случае это — малые окрестности некоторых кривых, лежащих внутри области определения КСТС) в которых происходят резкие переходы решения из окрестности одного корня вырожденного уравнения (т. е. уравнения, которое получается из исходного при обращении малого параметра в нуль) в окрестность другого корня.
Асимптотическое разложение контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций. Для одномерных задач это сделано в [1-4] и ряде других работ, для некоторых двумерных задач — в [4-6]. Обширная библиография содержится в [4].
В [5] предложен эффективный метод доказательства существования контрастных структур и оценки остаточных членов асимптотических разложений — так называемый асимптотический метод дифференциальных неравенств. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения конструируются путем модификации формальной асимптотики. Следует отметить, что из существования верхнего и нижнего решений вытекает существование, но не вытекает единственности (даже локальной) решения исходной задачи.
Важным вопросом как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, является вопрос об устойчивости контрастных структур как стационарных решений соответствующих параболических задач (в смысле Ляпунова). Для одномерных задач с краевыми условиями Неймана этот вопрос исследовался в работах [7-10] и ряде других (см. библиографию, приведенную в работах [7-10] и [4]), и ответ был получен путем оценки главного (наибольшего) собственного значения соответствующего линеаризованного оператора. Методы, использованные в [7-10] не удается применить для многомерных задач, о которых идет речь в данной работе.
Таким образом, вопросы о достаточных условиях локальной единственности и устойчивости многомерных 'контрастных структур типа ступеньки оставались открытыми.
Эти вопросы решены в данной работе на основе нового метода.

По сути удалось указать условия на верхнее и нижнее решения сингулярно возмущенной краевой задачи, при выполнении которых наряду с существованием (точного) решения (в области между верхним и нижним решениями) рассматриваемой задачи (о чем было известно ранее) можно утверждать локальную единственность и асимптотическую устойчивость этого решения. Этот метод применим как для одномерных, так и для многомерных задач и вместе с асимптотической устойчивостью и локальной единственностью позволяет исследовать области влияния (устойчивых) решений, а также находить оценки собственных значений соответствующих линеаризованных операторов (для простоты изложения в работе рассматривается двумерный случай).
Используемый метод позволил обосновать асимптотическую устойчивость и локальную единственность контрастных структур типа ступеньки (при условиях, обеспечивающих построение упорядоченных верхнего и нижнего решений рассматриваемых задач достаточно высокого порядка точности по малому параметру), а также решений без внутренних переходных слоев, т. е. (чисто) погранслойных решений (ПР), и получить информацию об их областях влияния, причем как в случае задач с условиями Дирихле, так и в случае задач с условиями Неймана (и вне зависимости от того является ли линеаризованный на исследуемом решении оператор рассматриваемой задачи (ЛО) формально самосопряженным или нет); для случаев задач с формально самосопряженными Л О получены еще и оценки собственных значений этих ЛО.
Отметим, что сходные результаты по областям влияния (устойчивых) КСТС и ПР для одномерных задач (другим методом) были получены в [11,12]. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность многомерных ПР в случае, когда ЛО является формально самосопряженным следуют из оценки главного собственного значения этого ЛО, полученной (другим методом) в [13].
Следует также отметить, что в данной работе охвачены практически все основные случаи условий, при выполнении которых удается построить формальную асимптотику и доказать существование двумерных контрастных структур типа ступеньки (в рассматриваемых здесь задачах), причем доказательство асимптотической устойчивости и локальной единственности этих решений проходит без добавления каких-либо дополнительных требований. Подчеркнем, что все только что сказанное относится именно к двумерному случаю. В одномерном случае доказательство существования КС,ТС удается провести при более слабых требованиях [1], причем при этих ослабленных требованиях такое решение может оказаться неустойчивым [4], [7-10].

т.е. когда (3.2) соответствует условию Дирихле, функция Ро(г/,1) определяется из задачи

2о — /(1(0Д) 4- Ро,0,/,0), г} > О,
Ро(0,1) = д{1) - <1(0, /), Р0(+оо, I) = О,
а в случае в — 1, т.е. когда (3.2) соответствует условию Неймана, функция Ро{г), I) = 0. Функции Рг с номерами г > 1 определяются из линейных задач.
Для (Зо~т, 0) имеем задачу

<2о-)(М) = Ы0,в)-(0,б),
Я{0--оо,в) = о, а для +т,6) получаем аналогичную задачу
(3.18)
(3.19)

+) = /ЫО,0) + <+),О,0,О), т > 0,
3£+)(О,0)=о(О,0)-¥>2(О,0),
3<+)(+сю,0)=О.
(3.20)
(3.21)
Начальные условия (3.19) и (3.21) следуют из (3.15)(в порядке е°). Как известно, (см. [1,5]) нахождение Зд+' сводится к решению уравнения
—0(+) дт°
¥2(о,0)+Д

2 I /(и, 0,0, ОД
2(0,0)
, т >
(3.22)
с начальным условием (3.21), а нахождение — к решению уравнения

¥|(О,0)+<3$->

дтЧ° ~
/(и, 0,0, ОД
¥1 (0,0)
, т < О
(3.23)
с начальным условием (3.19). Решения этих задач можно найти в квадратурах: ¥з(о,0)+«£+)

¥о(О,0)
2 I /(з, 0,0, ОД
¥2(0,0)
<01(о,0)+<2
¥0(0,0)

2 J /(3,0,0,0Д
¥1(0,0)
йи, т > 0,
<Ьх, т < 0.
(3.24)
(3.25)