Оценки числа периодических решений уравнений Абеля и Льенара

• Автор: Панов, Андрей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 52 с. : ил

Оглавление
Введение
1 Оценка числа циклов для некоторых типов уравнения Абеля
1.1 Введение
1.2 Уравнения г малыми периодическими коэффициентами
1.3 Двойное отношение и уравнения, имеющие не больше трех периодических решений
1.4 Случай п = 4: контактная структура и поведение решений
2 О массивности множества отображений Пуанкаре уравнений Абеля
2.1 Введение
2.2 Леммы о композициях
одномерных отображений
2.3 Основная лемма
2.4 Доказательство теоремы о массивности (Теорема 2.2)
3 Некоторые оценки сверху числа замкнутых циклов векторных полей на плоскости и их применения к уравнению Льенара
3.1 Введение
3.2 Оценки для числа замкнутых циклов
3.2.1 Оценки, использующие неявный параметр
3.2.2 Оценки, использующие явные данные
3.3 Область определения обратного отображения
Пуанкаре уравнения Льенара
3.3.1 С-полиномы
3.3.2 Дикритические узлы на бесконечности
3.3.3 Выталкивающие области вблизи бесконечности
3.3.4 Область определения обратного отображения Пуанкаре
3.3.5 Область определения и приращение обратного отображения Пуанкаре
3.3.6 Надстройка над отображением Пуанкаре
3.4 Время первого возврата
3.4.1 Окрестность особой точки
3.4.2 Полоса вдоль вертикальной изоклины
3.4.3 Оценка сверху времени первого возврата
3.5 Аналитическое продолжение отображения
Пуанкаре

3.5.1 Комплексная область определения обратного отображения Пуанкаре
3.5.2 Оценка правой части и времени первого возврата
3.5.3 Применение Теоремы 3.
3.5.4 Финальная оценка и упрощения

Введение
Одной из актуальных задач теории дифференциальных уравнений является задача об оценке числа периодических орбит полиномиальных дифференциальных уравнений на плоскости. Можно считать, что такого рода вопросы восходят ко второй части шестнадцатой проблемы Гильберта. В пастояхцей работе проблема оценки числа периодических ориит исследуется для уравнений Абеля и Льенара.
В первой главе исследуются несколько частных случаев задачи об оценке числа периодических решений уравнения Абеля. Мы будем рассматривать полиномиальное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами вида
х = хп -|- ап-(б)хп~1 + ... + а0(£), (1)
аз^ + т) = аМ-
При малых коэффициентах уравнение (1) имеет не более п периодических решений с учетом кратности.
Теорема 1.1. Пусть Т — А и для любого 2 корни многочлена
хп + аге_]Д)дп 1 + ... + в(Д))
включая комплексные, по модулю не превосходят А;. Тогда отображение Пуанкаре имеет не более п неподвижных точек.
Эта теорема доказывается с помощью выхода в комплексную область. При п = 3 число периодических решений оценено в работах [1] и [2] (с указанием на то, что результат принадлежит Смейлу). В разделе 1.3 использован новый подход к этой проблеме, основанный на исследовании свойств двойного отношения, составленного из четырех несовпадающих решений равнения Абеля. А именно,

3.2.2 Оценки, использующие явные данные
В этом подразделе приводится нижняя оценка для параметра е из Теоремы 3.1. Для ее вычисления используются данные, которые можно напрямую извлечь из уравнения (3.1). Из этой оценки следует первое Утверждение Теоремы 3.2. Второе Утверждение есть немедленное следствие первого и Теоремы 3.1.
Доказательство Утверждения 1 Теоремы 3.2. Нам нужно доказать, что для любой точки х Е К отображение Пуанкаре уравнения (3.1) может быть продолжено в е-окрестность х в С. Пусть, как и раньше, <рхр(х) = 'Ух — дуга ориентированной по времени орбиты уравнения (3.1) из х в Р(х), а 1(х) — ЭТО время ДВИЖенИЯ ПО ПуСТЬ X — Ые 2, у = Не 22, где 21,22 координаты в С2. Из неравенства (3.2) и неравенства Гаучи следует,
8* - 1.2; , = 1,

иц П)

Таким образом, в норме (zi,Z2) = max(|^i|, z2

имеем:

Ul(ü)
d(zuz2)
Из (3.3) следует,

ее"' < 5.
Пусть z Е Ue(K), то есть, z — х < е для некоторого х Е К. Пусть tpz решение комплексифицированного уравнения (3.1) с комплексным временем, проходящее через г при t = 0 14>z{t) - Значит,
| Заметим, что ipx(t(x)) = P(x) £ К'. Следовательно, а := cpz(t(x)) G П5. Пусть а = (ai, ao), P(x) = (0, b). Тогда
Ь -b<5. (3.7)
Лист (fia в некоторой ОКрвСТНОСТИ а является решением Z2 = w(z) уравнения