Ограниченные решения векторно-операторных дифференциальных уравнений n-го порядка, не разрешенных относительно старшей производной

• Автор: Иванова, Елена Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 118 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ЧАСТЬ 1. Ограниченные решения векторнооператорных дифференциальных уравнений п-то порядка, не разрешённых относительно старшей производной, в банаховом пространстве

ГЛАВА 1. Линейная теория

1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффциентами. Операторный характеристический многочлен и частотные постоянные

1.1. Нерезонансное условие

1.2. Частотные постоянные

1.3. Теорема в возмущённом нерезонансном многочлене

2. Операторная ограниченная функция Грина и интегральные постоянные
2.1. Операторная ограниченная функция Грина
2.2. Соответствие между нерезонансными операторными многочленами и ограниченными операторными функциями Грина
2.3. Интегральные постоянные
2.4. Сравнение интегральных и частотных постоянных

3. Интегральные операторы. Спектр и резольвента
3.1. Основная теорема. Спектральные постоянные
3.2. Спектр и резольвента
4. Линейные векторно-операторные дифференциальные уравнения п-го порядка с переменными коэффициентами, не разрешённые относительно старшей производной
4.1. Основные предположения
4.2. Теорема существования и единственности
4.3. Метод последовательных приближений
4.4. Почти периодические колебания
4.5. Асимптотическая устойчивость
ГЛАВА 2. Нелинейная теория
5. Условие Липшица
5.1. Условие Липшица
5.2. Основная система интегральных уравнений
5.3. Метод последовательных приближений
6. Принцип сжимающих отображений. Основные теоремы
6.1. Основные теоремы
6.2. Доказательство теоремы 6.
6.3. Доказательство теоремы 6.
6.4. Доказательство теоремы 6.

6.5. Доказательство теоремы 6.
7. Условие типа Липшица, критерий компактности и локальная теорема
7.1. Условие типа Липшица
7.2. Теорема Арцсла-Асколи
7.3. Критерий компактности в
7.4. Локальная теорема
8. Теорема Тихонова о неподвижной точке. Теорема существования ограниченного решения
8.1. Теорема Тихонова
8.2. Теорема существования
8.3. Доказательство теоремы 8.
ЧАСТЬ 2. Ограниченные решения векторнооператорных дифференциальных уравнений п-го порядка, не разрешённых относительно старшей производной, в гильбертовом пространстве
ГЛАВА 1. Линейная теория
9. Линейное векторно-операторное дифференциальное уравнение п-го порядка с периодическими коэффициентами, не разрешённое относительно старшей производной, в гильбертовом пространстве
9.1. Нсрезонансное условие. Частотное условие
9.2. Теорема существования и единственности
9.3. О сходимости метода последовательных приближений

в котором часть уравнения с постоянными коэффициентами представлена своими интегральными постоянными, а часть с переменными коэффициентами - своими липшицевыми постоянными.
Да, мы забыли ещё сказать, что ґ(£) : К —> В есть измеримая ограниченная векторная функция
Совокупность всех таких функций образует банахово пространство Loo = Loo(—оо, 4-оо) = LX(R,M) с нормой
Ясно, что С С Leo и теорема 3.1 справедлива и для банахова пространства Loo.
4.2. Теорема существования и единственности. Изложение теоретического материала мы начнём с основной теоремы.
Теорема 4.1. При сделанных выше предположат,ях фактически в условиях Каратеодори - уравнение (4.1) при любой измеримой ограниченной функции f(£) имеет единственное ограниченное решение х(£). У этого решения оказываются ограниченными все производные х(£),..., x^_1^(t), х^(£), причём справедливы оценки
Конечно, х^’)(£) 6 С при 0 < ,? < п — 1 (так как они абсолютно непрерывны) и можно было бы в оценках (4.7) в этом случае писать ||х(4) ||с; ради единообразия была выбрана приведённая выше запись.
□ Докажем сначала оценки (4.7). Пусть х(£) есть ограниченное решение уравнения (4.1). По теореме Эсклангона, перенесённой на дифференциальные уравнения в банаховом пространстве
||f(t)|| < а, —сю < t < +оо.
(4.5)
l|f|l = 11 f II оо = vrai max ||f(£)||
(4.6)
(4.7)