Оснащенные многообразия частного вида в многомерном аффинном пространстве

• Автор: Атанасян Л.С.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 134 с.

В в е' д я н и е

, ■■ ■
Настоящая работа посвящена изучению некоторых специальных оснащенных многообразий многомерного аффинного пространства. Так называются многообразия V* , влокенные в некоторое плоское аффинное пространство , причем в каждой

точке М рассматриваемой области задается некоторая

"аффинная нормаль" - мерная плоскостькоторая имеет

только одну общую точку М с многообразием Ун

С каждым оснащенным многообразием У*- определенным обра-

зом связана/Некоторая аффинная связность в самом многообразии*

р,’”
компоненты {;| этой связности вполне определяются заданием многообразия и его оснащения. Кроме того, с каждым осна -ценным многообразием связывается некоторая система симметрических тензоров ; (аналогичных второму основному
тензору-поверхности а трехмерном евклидовом пространстве).
Теорией оснащенных многообразий в.аффинных пространствах стали зани?ч?аться сравнительно недавно, и только за последние годы отдельные проблемы этой теории получили свое решение в трудах советских математиков: Вагнера В.В., Лаптева Г.Ф., Нордена А.П., Лопшица А.М. и др.

В своих работах / 7 / - /1.0 ,/ Лаптев Г.Ф. ставит некоторые общие проблемы, относящиеся к. оснащенным многообразиям в аффинных пространствах. В работе /9 (1945 г.) автор решает вопрос о погружении .пространства аффинной связности н
__ ‘
Здесь и в дальнейшем цифры а прямых скобках относятся к

списку литературы, помещенному на стр. 130.
аффинное пространство, или точнее разрешает следующую зада -чу: Пусть дано к -мерное пространство аффинной связности В оУ. -мерном аффинном пространстве (где -О -достаточно большое число). требуется найти П. -мерную оснащен -луго поверхность такую, чтобы индуцированная этим оснащением аффинная связность совпадала со связностью простран -ства й-п
В этой работе доказано, что всякое П -мерное пространство аффинной связности без кручения погружается в -мерное аффинное пространство, если. ^ С'л‘1 + 1м-")
При этом произвол, с которым осуществляется погружение, определяется УУС*4') - — (и - Ъ з ) произвольными
функциями от И- аргументов.
В другой работе / 10 / того же автора ставится задача неметрического изгибания точечного многообразия, вмещенного • в аффинное пространства, причем определение этого изгибания дается в терминах оснащения.
Лопшиц..А.-М. ,в своих еще неопубликованных докладах на св-
#х)
минаре п.о>’5вект:орному и тензорному а налу ‘ рассматривает во -просы, связанные с нахождением внутренней нормализации многообразий, вложенных в аффинное и центроаффинное пространство.
Норден А.П. в своих работах /12 / и / 13 / при помощи оснащений изучает свойства аффинных связностей на поверхности проективного пространства.
Большое место занимает изучение оснащенных многообразий
Указания на два первые из этих докладов имеются в трудах
семинара по векторному и тензорному анализу, вып. У1;

в работах Вагнера З.В. / I / - / б /. ?£и не останавливаемся на содержании этих работ, далеком от предмета нашего исследо-
. ваиия.
Настоящая работа посзяшена изучению некоторых частных классов оснащенных многообразий, а именно тех, которые мы в
у
дальнейшем называем ’'раз'-■зертывающтиися" и "вырожденными ; . Оказывается, что мы приходим в основном к этим именно классам многообразий, исходя из различных соображений:
а) В-существующих теориях поверхности или гиперповерх -ности в аффинном или центроаффинном пространстве (Бляшке /20/ Лопшицхх^ , Пясецкий />9 / ) обычно исследуется только случай, когда тензор ■ имеет наибольший возможный ранг К ;
противоположность этому мы рассматриваем те многообразия
-7 '
^ 4 Е гя | для которых соответствующее предположение для тензо -ров Ц не выполняется.
в) Среди всех аффинных связностей выделяются, как наиболее простые, связность нулевой кривизны и так называемая "неевклидова" .связность (Бляшке /20/, бГ)р |Т£ • см. также
85 настоящей работы). В' настоящей работе для этих двух видов
связностей ставится следующий вопрос: каковы те многообразия
О „
/ и их оснащения, которые индуцируют связность нулевой кривизны
или неевклидову связность? Эта задаче является некоторым аналогом задачи исследования многообразий нулевой кривизны и вообще многообразий постоянной кривизны евклидова пространства, которой посвящена обдирная работа Картана /21/.
х) " ■" I п |С
По поводу определений см. стр. и стр. . ,17..» ■
хх) ■ '
Ряд неопубликованных докладов на семинаре по векторному и тензорному анализу, о которых упоминалось выше. '
- 40 -
которое получаемся при- любом векторе ЧАь,
Аналогичное определение можно ввести для системы
или, например, -для ^ АУ: ... У» ' « т.д.
^1 • • : >и
у .■ 5; » > V
Наконец/введем следующее важное . для всего дальнейшего
определение:
0 п р е д а л е ,н и е 5. Систему, состоящую из некотороч. . X
■ ,11.. х
го числа к. тензоров второй валентности Пч,- кд;,... гЦ-; и
: ■ X ' а11
стольких же смешанных тензоров второй валентности у і
хх V
будем называть системой внешне ортогональных тензоров *. воли между виаш существует следующая зависимость
Г аЛ
Ь і Сі 0 : - ". — —... (7.1)
Аналогичное определение будем применять к случаю, когда
даны Ид. и ,, или п і у и %і -и т.д.
Во-всем дальнейшем для определенности вш рассматриваем ея-
- - ’ ' - *
от ему внешне ортогональных тензоров гід; и г; (напом-
' ^ - і
ним, что тензоры - предполагаем симметрическими), ко

доказательства Сохраняют силу и для остальных случаев. , Докажем следующее, предложение: •
[7.3І " Если Н;,-- ч V : - система внешне ортогональных
^ X ' ' / Vі

тензоров И если тензоры ПАд- V ■ получены из -• первых "контрагредиентньши" преобразования
'Сравни с определением области индекса одного тензора, данным в § 3 (стр.10)
хх^ Этот термин заимствован у Картана^Он в работе /21/ рассматривает квадратичные формы ш; * , удовлетворяющие
'ч’' 1
условию 2, X ^ ' .0 2'.. Такие формы он ■
назвал "внешне ортогональными", невидимому, из-за формального
сходства с условием ортогональности двух векторов