О дифференциальной зависимости рядов Дирихле

• Автор: Постников А.Г.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 25 с.

. ^ ^ /1 ''г

В З Е ДЕ' НИ Е

Алгебраическим дифференциально-разностным уравнением мы-будем называть уравнение вида:.

о ф(Ь ■Г’<“>.»=0 , /I

.^Ьде вещественные числа,, а поданоы от своих аргумен-

^ тов . Юла все іі-° , то уравнение будем называть алгебраическим дифференциальным уравнением.

ф(?; РМ(^> Э /2

Н9 - Д •
пункции, удовлетворяющие ■никакому алгебраическому дифференциальному уравнению,назовем гаяертрансцендентными:-
Постановка вопроса о гипертрансцвндэитности функции отно-і сится к концу прошлого века. Первым результатом в этом направлении следует считать известную теорему Гбльдера /і/ о том.что гамма функция гапертрансцендентна. в дальнейшем ин-терес к такого рода вопросам усилился в связи с тем .что Гильберт-/^/ высказал предположение о том,что функция

$(*, 5); 4- • Ф . /з

не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению в частных производных /по ^ в В I. Это предложение было доказано Меряухай-Болтрвским /з/, А/, и позднее Островским /б
В исследовании Островского /б/ центральное место занимает следующая глубокая теорема.. /
Теорема /Островский/. Если ряд Дирихле
ІкУ-& <кг-*і5 - , а
обладает областью абсолютней сходимости и удовлетворяет алгебраическому дифференциально-разностному уравнению, то
С
множество показателей її обладает конечным целочисленным
базисом.
г Поскольку дзета функция , а так же все 1. - ряды Дирихле являются рядами..базис показателей которых состоит из всех ■ логарифмов простых чисел /кроме, самое большее, конечного
числа/ и имеют области абсолютной сходимости, то отсюда,
“Ъзета
в частности, следует гипертренсцендентность з^ета функции и рядов
Основываясь на этой тэореме и пользуясь функциональным уравнением /Гильберта
X "ШЪЛ1 г $(.х,5-л) /5
/для исключения прорзводных по ос ./ Островский решает задачу Гильберта.
Естественным обобщением вопроса о гипертрансцендентности рядов Дирихле является вопрос об их дифференциально» независимости. Мы будем говорить, что система рядов Дирихле /ординарных
. • ' №'-£ &: /в
---1 *Я п
дифференциально'разностно зависима, если' между наша-существует функциональная зависимость
а ф(ф щ
Ф многочлен от своих аргументов, а вещественные числа. Если все 1>т = 0 ,то будем говорить,что система , дифференциально зависима . Так КАК
/в
то дифференциально-разностную вевисшость мы всегда можем . трактовать, как дифференциальную зависимость,
13 нестоящей работе доказывается г
ТЕОРЕМА I. Любая конечная система-X- рядов Дирихле циц> : ференциально-разностно независима:.- ■ :*
/ Этот результат в более слабой форме опубликован в журнале "Доклады Академий Наук СССР" 1943- т,1Ш1 № 4/"«' Далее дается обобщение этой теоремы на■ /&лк /б/
в логарифмы рядов Артина / об этом см. ’ И!
Именно имеют место теоремы!
ТЕОРША 1? и се с/- рада Дирихле ао характерам идеальной
СГР Л*> .
группы /луч/ дифференциально-разностно независимы*
ТЕОРЕМА Логарифмы У- ря дов Артаве доля-;/Г • на_д к дифференциально-разностно нева?ксамы.
Введем функцию Ж ос, М)

г ■■
Эта функция удовлетворяет функциональному уравнению
,/Ю/.
На основании теоремы I и функционального уравнения /ю/ рассуждая точно таким же способом, как в. Острове кип / а доказательстве его второй теоремы/, мы получаем следующий-факт; ■
Т20РЖА 2. Не может существовать соотношения
Ф(*, . с /П
ПИ'Л/Р '7 2)