Об особых точках обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Рахимов Х.Р.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Самарканд
• Количество страниц: 128 с.

 —- Стр.~

рлава 1 .Особые толки первой группы

§1;

Глава II. Особые точки второй группы

§ 2.Необходимые и достаточные условия

центра / метод Ляпунова

Глава III. Некоторые признаки отличия фокуса от

центра

§1. Простейшие.признаки отличия фокуса

от центра

§2. Доказательство одного свойства диф- 6^ йеренциальпого уравнения вида

= 3)
Рлава 1У. Обобщенные.признаки отличия .фокуса
от центра
§1. О б щ и е понятия
§2. Первый признак обобщенной симметрии
§3. Второй признак обобщенной симметрии
Глава V. Теорема о сумме произведений.и ее.
приложение
§1.Теорема о сумме произведений
§2. Приложения к теореме
Л и т е р а ту р а
Настоящая работа ставит себе цепью исследование особых точек некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений ,т.е, принадлежит к области так называемой качественной теории диф -ференциаяьных уравнений
Основоположниками этой качественной теории являлись известный русский математик А.М. ЛЯПУНОВ и французский мате -матик А. ПУАНКАРЕ , которые занимались этой теорией независимо друг от друга .Следует ,однако »отметить в основном сочинении А. ПУАНКАРЕ »посвященном этому вопросу ^ , встречается неточность в определениях и формулировках некоторых доказатель -ств и» даже некоторые ошибочные утверждения х
А.М. ЛЯПУНОВ 2/ поставил с полной строгостью весьма важную задачу качественной теории - задачу об устойчивости движения , В частности »при решении этой задачи ЛЯПУНОВ да -ет анализ особых точек и развивает метод отличи^ фокуса от центра » который по своей строгости и общности результатов не только превосходит теорию центра ПУАНКАРЕ * но перекры -вает также исследование более поздних авторов -БЕНДИКСОНА и ФРОММЕРА / об этом ыы более подробно скажем ниже /.
Заслугой ПУАНКАРЕ является то, что он дал классификацию особых точек / седло,центр »фокус и узел /, ввел понятие о сепаратриесах и предельных циклах и, наконец, поставил зада -чу качественной теории дифференциальных уравнений »как той теории , которая позволяет^ не интегрируя самых дифференциаль
х/ См. напр, предисловие проф. В.В. СТЕПАНОВА к русскому изданию книги ПУАНКАРЕ / ОГЧЗ 1947 г.
ных уравнений , составить себе возможно более полное пред -ставление о поведении интегральных кривых •
Основная мысль ПУАНКАРЕ заключается в тон, что можно изучать поведение интегральных кривых с геометрической точки
зрения »исходя из свойств самого дифференциального уравнения
и не пытаясь интегрировать эти уравнения в конечном виде, подобно тому ,как етали изучать алгебраические функции, которые сначала пытались еводить к радикалам , а потов стали изучать непосредственно ,или как это было сделано по отношению ^интегралам от алгебраических функций^ после неудачных попыток выразить их в конечном виде *
В результате исследований ПУАНКАРЕ и ЛЯПУНОВА оказалось , что решающее влияние на форму интегральных кривых имеет’
характер и расположение особых точек дифференциальных урав -
нений
Таким образом, исследование особых точек является одной из основных и важнейших задач качественной теории
другой важнейшей задачей качественной теории дифферен -циальных уравнений является исследование предельных циклов, т.е, изолированных замкнутых интегральных кривых »окружающих особые точки типа фокуса или узла
Первоначально качественная теория была вызвана потреб -
ност$юч небесной механики у
С помощью основных методов ПУАНКАРЕ и ЛЯПУНОВА были ре -шены некоторые задачи о периодичности движений некоторых небесных . Тел , подвергающихся так называемым возмущениям у Но вскоре' качественная теория получила применение в других областях .Так, советские академики A.A. АНДРОНОВ,Л.И. МАН

jJ' .Jl* Cf- f* Cot, Cost?, JlAaCf^
olcf а Л, + 'Su, Cf Co-3 CfJ
it- стС P Со-S Cf ■

и, следовательно, все функции фи обладают упомянутыми свойствами , т. aV иными. словами ин -тегральньге кривые при малых А ведут себя в первом приближении »как окружности радиуса А у'Эти кривые м© -гут быть зачеркнутыми ,или спиралями ^Логически могут представиться 3 случая s
НАЧАЛА
1/ Вое кривые в окрестности /замкнуты.
2/ Все кривые в окрестности начала - спирали, неогра -ничепно приближающиеся к началу W
3/ В сколь угодно малой окрестности начала мы имеем ш замкнутые кривые и спирали *?
В первом случае начал© представляет собой центр;, во втором случае - фокус , а в третьем - центрофокус щ
В следующем параграфе мы докажем ,что в случае', когда функция ft _1 (х-ал)] - аналитическая ,этот п© -

(a- jio)
р U
Jt QJI
будет особой точкой второй группы ,если а ^ [ Cl t р j < 2. VbOi-A
С о
При ЭТОМ V вели <

rj}|< и Vj^c |q <-j>| 4 Z ( а