Подгруппы симплектических групп

• Автор: Шкуратский, Анатолий Иванович
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 51 c. : ил

Глава I. О подгруппах симплектической группы над алгебраически замкнутым полем

§ I. Определения, обозначения и предварительные

замечания

§ 2. Доказательство теоремы

Г л а в а П. 0 подгруппах симплектической

группы над полем частных евклидова кольца

§ I. Предварительные сведения

§ 2. Основные леммы

§ 3. Окончание доказательства

Глава, Ш. 0 проблеме порождения свободных

групп двумя унитреугольными матрицами

§ I. Исторические замечания
§ 2. Решение вопроса о ромбе
Литература

Значительное место в теории линейных групп занимают работы, посвященные изучению решетки их подгрупп. Плодотворный подход к этой малообозримой проблеме, предложенный Ю.И.Мерз-ляковым, состоит в описании наиболее важных фрагментов указанной решетки - в частности, семейства всех подгрупп, заключенных между данной группой матриц над кольцом и подгруппой всех ее матриц с коэффициентами в данном подкольце (см. [бЗ, с.81 и £5] , вопрос 7.40). С другой стороны, в свете альтернативы Титса (см. Св! , с. 427) особое значение приобрело сейчас изучение свободных подгрупп. Этим вопросам в классе симплектических групп и посвящена настоящая диссертация.
Пусть Я - коммутативное кольцо с единицей, М^(Ю~ кольцо всех матриц степени /г над Я » общая
линейная группа, специальная линейная группа,
а ((I) - аддитивная группа симметрических матриц степени /г над Я
Симплектической группой степени Я И над Я называется группа

где штрих обозначает транспонирование,
- единичная матрица степени /г . Отметим, что вр^ (/£)=
а).
В первой главе диссертации полностью описываются надгруп-пы группы $р цп, над вещественно замкнутым полем, получающиеся при увеличении этого поля до его алгебраического замы- ' кания. Напомним, что поле называется формально вещественным, если -1 не представляется в нем в виде суммы квадратов.
Поле называется вещественно замкнутым, если оно формально вещественно, но никакое его собственное алгебраическое расширение уже не является формально вещественным.
ТЕОРЕМА I. Пусть А - вещественно замкнутое поле, ^ - его алгеб
раическое за мы кание, д
ральное число. Между симплек -тическими группами Зрггь(к) и (А)
содержится единственная промежуточная подгруппа гр Зр%гь( А) ,

с^п ~ <&<*$ (% .. т> і, -I, ,..,-1 )9 С= Vе? ,
V ,--■> У у --’
п, /г
Прямоугольную матрицу над полем А условимся называть А -матрицей, если после домножения на некоторый элемент осф-0 из поля А она становится матрицей с элементами из А . Говоря более точно, мы рассматриваем в первой главе элементы

22. А.И.Шкуратский, 0 подгруппах симплектической группы над полем частных евклидова кольца, Алгебра и логика, 23, № 5 (1984), 578-596.