Алгоритмы метода Монте-Карло для решения уравнений эллиптического типа.

• Автор: Елепов, Б. С.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1973
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 91 с.

Глава I. Построение и обоснование алгоритма "блужданий по сферам" для решения первой краевой задачи для уравнения Гельмгольца

§ I. I. Введение и основные обозначения

§ I. 2. Использование "шаровой" функции Грина для

построения алгоритма

§ I. 3. Оценка эффективности алгоритма "блужданий по

сферам" для задач с разным числом измерений . . Н

§ I. 4. Оценка производных от решения методом Монте-

—Карло

§ I. 5. Моделирование некоторых случайных величин

§ I. б. Использование вероятностного представления

решения первой краевой задачи для уравнения ЛЯ - с и* - - ^ при построении алгоритма метода Монте-Карло
Глава II. Решение методических и прикладных задач теории потенциала методом Монте-Карло
§ 2. I. Универсальная схема расчета расстояния от произвольной точки до границы области
§ 2. 2. Решение методических задач

§ 2. 3. Расчет потенциала и траекторий движения
электронов в электромагнитной поле электро-разрядного насоса с нногоячеистын анодом
§ 2. 4. Решение методом Монте-Карло двумерной задачи о пробое электроизолятора
ПРИЛОЖЕНИЕ О комбинировании разностных алгоритмов
с методом Монте-Карло
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена вопросам построения, обоснования и применения алгоритмов метода Монте--Карло для решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Эта тема была предложена автору настоящей диссертации в 1966 году Г. А. Михайловым.
Связь между дифференциальными уравнениями и случайными процессами была известна уже давно; аппарат дифференциальных уравнений использовался для ревенния вероятностных задач. Так, например, А. Н. Колмогоровым было показано, что фундаментальное решение уравнения
где - эллиптический дифференциальный оператор, является переходной плотностью некоторого марковского вероятностного процесса. Н. Винером [I] в 1923 году был построен вероятностный процесс, отвечающий оператору /д = -дг А (Л - оператор Лапласа). Этот процесс в дальнейшем получил название винеровского процесса.
Возможность использования связи дифференциальных уравнений со случайными процессами для решения краевых задач изучалась многими авторами. Здесь в первую очередь следует отметить работы Р*. Куранта, К. Фридрихса, Леви,
И. Г. Петровского, А. Я. Хинчнна, Д. Дуба, Е, Б. Днмкина, С. Какутани, А. Д. Венцеля. В работах I. Филипса и
Н. Винера [2] и Р. Куранта, К. Фридрихса и Леви [з]

Таким образом, с точностью до постоянного множителя ( порядка 20 ) среднее число операций, необходимое для выбора значения ^ здесь можно оценивать величиной
Отсюда, вышеупомянутый алгоритм эффективен только для достаточно малых СО сС , так как при С0с1 — .
Для больших Л'01 справедливо неравество:
* 1 х
и моделирование целесообразно проводить с помощью одной из модификаций метода Нейманна [ 31 ] :
I). "выбирается значение 1^0 случайной величины с плотностью X. £-х^(-0,'Х ), О к X ^ с1 Г32] , и значение <£•(
то У^с принимается за значение случайной величины распределенной с плотностью (1.38), иначе снова выполняется I), и т. д.
Среднее число проб здесь равно І - хСІ/Чк (а.сІ)
I-о. е'^сЫ-Й

І. при ХСІ , т. е. при больших СС сС данный алгоритм достаточно эффективен.
Если в исходном дифференциальном уравнении положить С - О , то мы получим задачу Дирихле для уравнения Пассона. В этом случае