Симуляции решеточных фермионов с киральной симметрией в квантовой хромодинамике

• Автор: Щередин, Станислав
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Место защиты: Берлин
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Автореферат

Последние годы ознаменовались значительным прогрессом в области дискретизации полей фермионов с точными характеристиками киральной симметрии, реализуемыми на решетке через соотношение Гинспарга — Уилсона. В настоящее время затраты на компьютерное моделирование фермионов Гинспар-га — Уилсона значительно превышают затраты на традиционное моделирование без точного воспроизведения киральной симметрии; как следствие, в рамках квантовой хромодинамики (КХД) до сих пор возможны лишь квенчт симуляции. Однако киральные фермионы крайне важны с точки зрения расчета низко энергетических констант кирального лагранжиана из первых принципов при низких массах кварков. Настоящая диссертация посвящена исследованию возможности таких расчетов в е-режиме с целью получения физической информации. Для компьютерного расчета интересующих нас наблюдаемых мы воспользуемся двумя формализмами фермионов Гинспарга — Уилсона, а именно, через оператор Нойбергера и через оператор оверлепа на гиперкубе. Поскольку расчеты проводятся в е-режиме, каждая из наблюдаемых величин вынужденно рассчитывается в пределах фиксированного топологического сектора, который, однако, хорошо определяется, в случае фермионов Гинспарга — Уилсона по соответствующему индексу оператора Дирака. В качестве основного результата мы приведём сравнение вероятности распределения наинизшего собственного значения оператора Нойбергера в рамках КХД с аналитическими предсказаниями в киральной теории случайных матриц. Результаты, полученные двумя методами, хорошо согласуются если линейные размеры физического объема превосходят порядка Ь~ 1,12 фм. Одновременно можно оценить и киральный конденсат Е. Выясняется, что эта привязка к Ь носит обусловливающий характер и, фактически, задает линейные размеры физического объема, в которых аксиальный коррелятор ведет себя в соответствии с предсказаниями киральной теории возмущений. Это, в свою очередь, позволяет нам рассчитать значение постоянной распада пиона Результаты моделирования показывают также, что из-за высокой вероятности появления малых собственных значений, практически нереально стабилизировать поведение аксиального коррелятора в нейтральном топологическом секторе. В более высоких секторах, однако, наблюдается значительное снижение чувствительности аналитических предсказаний для аксиального коррелятора в плане возможности вычисления значения Е. В качестве альтернативной процедуры можно предложить использование вклада нулевых мод. В таком случае у нас всё-таки появляется возможность получить оценочные значения Г, и я, где я — низко энергетическая константа, появляющаяся только в квенчт приближении. Затем мы рассчитываем топологическую восприимчивость как для оператора Нойбергера, так и для оператора оверлепа на гиперкубе. Выясняется, что результат, полученный с использованием оператора оверлепа на гиперкубе, оказывается ближе к континуальному пределу. К тому же и локализация оператора в этом случае оказывается лучше, чем при использовании оператора Нойбергера. В качестве дальнейшей теоретической проработки исследуется концепция Люшера для калибровочного действия сохраняющего топологический заряд. Такой подход позволяет измерять интересующие нас величины в е-режиме без долгого перерасчета индекса оператора. Можно утверждать, что для этого нами выявлено многообещающее калибровочное действие.

Выражения признательности

Прежде всего, хочу выразить благодарность профессору Михаэлю Мюл-леру-Пройскеру, сделавшему возможной для меня работу над настоящей диссертацией на соискание ученой степени Ph.D. в составе его физикотеоретической группы. В частности, я признателен за великолепное научное руководство, и за всестороннюю поддержку. Хочу выразить особую благодарность доктору Вольфгангу Битенгольцу, являвшемуся моим прямым научным руководителем в период моего пребывания в аспирантуре. Его чуткое и доброе руководство, равно как и захватывающие идеи, вдохновляли меня всё это время и внесли огромный вклад в формирование моего мировоззрения, не говоря уже об академическом образовании. Хочу поблагодарить доктора Карла Янсена за плодотворные обсуждения и множество интересных идей, стимулировавших мое развитие, как ученого. Кроме того, я выражаю признательность за обсуждение отдельных аспектов исследования С. Капитани, Т. Киараппа, Н. Кристиану, М. Хазенбушу, К.-И. Нагаи, С. Некко, М. Папинутто, JI. Скорцато, А. Шиндлеру, К. Урбаху, У. Венгеру и И. Ветцорке. Далее, хотелось бы выразить признательность проф. Дж. Дж. М. Вербаарскоту, проф. П. Дамгаарду и проф. Г. Аке-манну за полезное обсуждение тем, затронутых в настоящей диссертации. Хочу также поблагодарить всех моих коллег — доктора Ф. Хофхайнца, А. Штернбека и Д. Пешку — за прекрасную рабочую атмосферу и помощь мне в повседневных мелочах. И, наконец, но не в последнюю очередь, хочу выразить признательность собственным матери и бабушке за их добрую помощь.

/(X) ~ Рц-і(х)

Во всех точках максимума ^п(х) — 1, в то время как в точках минимума

Тп(х) — —1. Как раз это свойство делает полиномы Чебышева полезными для приближения функций. Это также обеспечивает способом оценки максимальной ошибки в аппроксимации.

Коэффициенты сэразложения (3.7) даются

9 "

сз = Т7 У] /(хк)Т^(хк) , rfiere 3 — 0,— 1 , (3.10)

где хк являются IV нулями Тогда для любой функции /, определенной на интервале I имеет место быть
■N-1
1>ЗД --Со (3.11)
д-0 ]
и принимает точное значение в точках • ■ ■ ■> а'Аг. для каждой точки X Е [—1,1] это задаех аппроксимацию Чебышева порядка -V — 1 дЛЯ функции Аппроксимация Чебышева не является наилучшей аппроксимацией
по отношению ко всем полиномам той же степени т.е. она не обеспечивает наименьшее отклонение от аппроксимируемой функции. Последнее является верным для так называемых минмакс полиномов. Тем не менее аппроксимация Чебышева не намного хуже. Преимуществом арроксимации Чебышева является то, что формулы (3.10) и (3.11) могут быть переписаны в рекуррентном виде. Реккурентная формула Кленшо [92]. Это свойство делает полиномы Чебышева привлекательными для численного моделирования т.к. оно помогает избежать использования коэффициентов сз которые могут принимать очень большие и маленькие значения и таким образом уменьшить точность вычислений.
В нашем моделировании мы использовали следующую аппроксимацию
4= = > ^1еге 1 £ [<э !] 5 (3-12)
где е ^тіл/^шах и ^тіп и ^тах являются минимальным и максимальным
собственными значениями оператора
Подставляя аппроксимацию для квадратного корня мы получаем следующее приближение для оператора оверлепа Дирака
дот~^[1 + Т5 ЯР»Ж)]■ (3-13)
Степень N полинома выбирается так чтобы обеспечить необходимую
ТОЧНОСТЬ ^отегіар
||х-с№,с( 4 Ц-Х ||
— Од-сгіар ;
(3.14)