Метод инвариантных многообразий в задачах кинетики

• Автор: Карлин, Илья Вениаминович
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1991
• Место защиты: Красноярск, Тассин
• Количество страниц: 91 с. : ил.

1 ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНЫХ

МНОГООБРАЗИЙ ДЛЯ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ

1 Динамическая инвариантность и термодинамичность

2 Термодинамическая параметризация

2.1 Итерационные методы решения уравнения инвариантности

2.2 Метод инвариантного многообразия

2 3 Физическая и геометрическая интерпретации

2 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ И СОКРАЩЕНИЕ ОПИСАНИЯ В ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКЕ

3 Построение динамически инвариантных многообразий для уравнения Больцмана

4 Уравнения первой поправки к локально-максвелловскому многообразию

3 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

5 Разложение параметрикса
6 Конечномерные аппроксимации интегральных уравнений
7 Уравнения гидродинамики
8 Уравнение инвариантности и ряд Чепмена-Энскога
9 Самосопряженность и принцип Онсагера

10 Метод инвариантного многообразия в химической кинетике
10.1 Формальная схема диссипативной химической кинетики
10.2 Построение динамически инвариантных многообразий для конечномерных систем
10.3 Самосопряженная линеаризация
10.4 Примеры
10.5 Реакция изомеризации
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Постановка проблемы и ее актуальность.
В настоящей диссертации представлен новый метод решения проблемы сокращения описания для кинетических уравнений больцмановского типа. Метод основан на ньютоновских итерациях и обеспечивает согласование сокращенного описания с Я—теоремой на каждой итерации. В отличие от классических подходов этот метод не требует малых параметров и существенных ограничений на выбор начальных приближений.
Настоящий метод, применимый к любым диссипативным системам, имеющим глобально-выпуклую функцию Ляпунова. Примерами таких систем являются больц-мановские газы, описываемые уравнением Больцмана с подходящими граничными условиями, химически реагирующие замкнутые системы, изучаемые в химической кинетике, а также множество систем, описываемых стохастическими кинетическими уравнениями (например уравнениями Паули и Фоккера-Планка).
Обсудим кратко основные недостатки классических методов сокращения описания в теории уравнения Больцмана.
Основная трудность метода Чепмена-Энскога [1] — нефизические особенности приближений выше первого порядка (барнеттовские и супербарнеттовские). Эго отмечалось многими авторами, а подробное обсуждение можно найти в [2]. В частности, как было показано в [4], барнеттовские приближения имеют коротковолновую неустойчивость звуковых волн, что противоречит Я—теореме.
Гильбертовские разложения содержат секулярные члены, что также противоречит Я—теореме.
К другим недостаткам методов Гильберта и Чепмена-Энскога относятся: ограничения на выбор начального приближения (локально-равновесное распределения), необходимость явного использования малого параметра и медленно сходящихся тейлоровских рядов. Указанные трудности являются препятствием для использования этих методов в существенно неравновесных задачах.
Основной недостаток метода Грэда [5] — неконтролируемость используемой ап-

Пройдя этот алгоритм, мы получим явное выражение для нулевого члена парамет-рикса <ро(*, V) (78).
Как мы уже отмечали, уравнение (80) (Шаг 1) имеет единственное решение в 1шЬа;(и). Уравнение (82) на Шаге 3 также обладает этим свойством. В самом деле, при любом к, правая часть —В(х, к, у) ортогональна ІпіПх (о), и, таким образом, опять альтернатива Фредгольма доказывает существование и единственность формального решения ф0(х,к,г).
Таким образом, на Шаге 3, мы получили единственное решение ф0{х,к,г). При фиксированном к — это функция, принадлежащая пространству іті®(«). Учитывая, что /0(ж, и) = /о(п(х),и(х),Т(х),у) не содержит явной зависимости от х, мы видим, что преобразование Фурье на Шаге 4 дает <ро(х, г>) Є ипЬхіу)-
Уравнения (80)-(83) составляют полную схему построения нулевого члена па-раметрикса. В заключение раздела вычислим член первого порядка в разложении параметри кса.
Рассмотрим формальный оператор Я = (1 — АВ)-1. Оператор Я представляется формальным рядом:

Я =£ (АВГ (84)

Мы хотим преобразовать этот ряд, поместив все операторы А левее В. Для этого, будем коммутировать В с А, перемещая первый слева направо, т.е. совершая для каждой пары В А элементарное преобразование В А —> АВ — [А, В], где [А, В] = АВ — В А. Выделяя члены, не содержащие коммутаторы [А, В] и содержащие один коммутатор [А, Я], получим:
Я = Яо + Яі + (слагаемые с большим числом скобок) (85)
Здесь
Яо = £дтЯт; (86)

ОО ОО
Яі = -'52'£ІІАт~іІЛ’В}АІ~1ві~1]вт~і (87)
т=2 і
Оператор Яо — нулевой член разложения параметрикса. Оператор Яі (член первого порядка разложения параметрикса) может быть представлен следующим образом:
Я, = - £ тАт[А, В](^А*В*)Вт = - £ гпАтСВт, С = [Д,£]Яо (88)
т=1 *=0 т