Численно-аналитический метод определения форм свободных колебаний пространственно-криволинейных неоднородных стержней

• Автор: Васина, Марина Владимировна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 112 с. : ил.

Содержание
Введение

1. Математическая модель колебаний пространственно- криволинейного стержня

1.1. Кинематические соотношения

1.2. Дифференциальные уравнения движения криволинейного стержня

1.3. Уравнения состояния криволинейного неоднородного стержня

1.4. Уравнение свободных колебаний криволинейного стержня

2. Метод решения системы уравнений состояния для свободных колебаний пространственно-криволинейного неоднородного стержня

2.1. Уравнение состояния для свободных колебаний в безразмерной форме

2.2. Фундаментальные решения уравнений состояния

2.3. Определение спектра свободных колебаний

2.4. Реализация последовательных приближений для конкретных стержней
2.4.1. Стержень с осью в виде логарифмической спирали с линейным подъемом
2.4.2. Стержень с осью в виде архимедовой спирали с линейным подъемом
2.5. Алгоритм определения спектра и построения собственных форм
3. Определение собственных частот и состояний пространственно-криволинейных стержней с переменными параметрами
3.1. Стержень с осью в виде логарифмической спирали с линейным подъемом
3.1.1. Консольный стержень
3.1.2. Защемленный стержень
3.1.3. Шарнирно-опертый стержень
3.2. Стержень с осью в виде архимедовой спирали с линейным подъемом
3.2.1. Консольный стержень
3.2.2. Защемленный по двум концам стержень
3.2.3. Шарнирно-опертый стержень
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Многие прикладные задачи различных областей науки и техники связаны с исследованием состояний стержней с пространственно искривленной осью. Это прочностной анализ конструкции каркаса летательных аппаратов и судов, элементов жесткости антенных систем, несущих элементов нестандартных строительных конструкций, расчет систем амортизации, в которых используются различного рода пружины (цилиндрические или конические) и т.п.
В настоящее время одним из перспективных прикладных направлений является биомеханика, в рамках которой большое внимание уделяется изучению прочности элементов костно-мышечного аппарата животных и человека при вибрационных, ударных и других видах внешних воздействий.
Биомеханические структуры имеют сложную структуру и форму. Их механические свойства зависят от индивидуальных особенностей организма, возраста, функционального состояния, внешних факторов и в значительной степени определяются напряженно-деформированным состоянием, так как биомеханическая система адаптируется к внешним воздействиям.
Организм, как объект механики, представляет собой сложную систему, в которой просматривается иерархическая организация [14]. Один из возможных вариантов структурирования таков: выделение опорно-
двигательного аппарата, (совокупности костно-мышечных тканей), внутренних органов, кровеносной системы. В свою очередь, каждая из указанных подсистем также может быть разбита на более простые. В частности, в опорно-двигательном аппарате выделяется скелет, источники энергии для его движения - поперечно-полосатые мышцы и суставы - соединительные элементы. Можно предложить и другой принцип структурирования - по отделам тела: голова, конечности, туловище со своими отделами - грудной клеткой, тазовым поясом и т.д. Рассматривая общие приемы исследования сложных систем, можно утверждать, что их математическое моделирование требует составления моделей элементов самого нижнего уровня иерархии, то

есть применительно к данному случаю костей, мышц и внутренних органов. Из приведенных примеров структурирования следует, что непременным элементом моделирования являются элементы скелета, т.е. кости, которые являются основными несущими конструкциями организма. В подавляющем большинстве кости можно представлять как пространственнокриволинейные стержни переменного сечения. Кроме того, элементы скелета обладают выраженными вязкоупругими свойствами [2, 8], изменяющимися как вдоль оси, так и в поперечном сечении. В силу этого разработка моделей таких объектов представляется актуальной задачей биомеханики.
В настоящее время изучению механического поведения организмов и их элементов, в частности, костей, посвящены исследования ряда российских и зарубежных ученых. Об актуальности таких исследований свидетельствует наличие специализированных журналов (например, Transactions ASME. Journal of Biomech. Eng., США, Российский журнал биомеханики, г. Пермь), постоянно действующих семинаров (например, под рук. проф. Ю.И. Няшина, Пермский ГТУ). В современных публикациях по биомеханике рассматривается широкий круг вопросов, который можно разделить на три основных класса: исследования механических свойств биоматериалов и различных элементов человеческого организма [29, 57, 59, 63, 62, 64, 67, 73, 75], моделирование динамики человеческого организма и отдельных кинематических цепей [4, 6, 7, 8, 10, 15, 20, 30, 33, 42,56], решение конкретных прикладных задач [33, 35, 37, 49, 54, 61, 70, 74, 72, 71, 58, 66]. Так, в [1, 12, 40, 43, 49, 54] изучаются вопросы статического и динамического поведения отдельных костей организма при различных видах нагружения. Исследуются более сложные вопросы, связанные с анализом соединений костей скелета - грудной клетки и суставов в различных условиях [37, 66, 70, 71, 72, 73, 74, 76, 78]. Общим вопросам механического поведения организма посвящены статьи и монографии [2, 31]. Существенным направлением исследований является анализ состояний и взаимодействие с организмом различного рода протезов [28,41].

(2.8)
и матрицы модели стержня и инерции (приведены только ненулевые элементы):
— _д° _ 4° -_/|0 — я0 --4° —г
л1,2 - л2,1 - л4,5 “ л5,4 - л7,8 “ л8,7 - *0 ’
__л° - 4° -_Д° —Я0 —/3
2.3 ~ 3,2 ~ 5,6 - 6,5 _ 8,9 ~ л9,8 “ ГО’
А0 — - А0 — - — А0 — 1'
5.3 “ 6,2 - _2 ’ 8,12 - л9,11

40 „ 1 . ,0 _ 2 . ,0 1
7,1 _ 9 10,4 ~ ч . ’ Л11,5 - . ’ 12,6 “
а0 0 +'Д./гО 1п0 7б0
(2.9)
М 1°7 -М28 - -а0; М® ]0 - /г0; - у0„; А/]2 -УоЬ’
(2.10)
Д,2 “ ~~2,1 - 4,5 ~ “5,4 _ 7,8 “ “8,7 _ К0Фк(%У’ = 5,6 ~
<Ра№
2,3 ~ 3,2 _ 5,6 “ 6,5 ~ 8,9 _ 9,8 ~ Фо(Рф(Р)

, 2р,(с) 1 0>и(£)
10,4 О + лоб-ДЙ]’ 11,5 Ло-иЙ)]’

(2.11)
М1=М°=М% = -а0<рЛ£У,
4,7 2
Кп=-Ш&; <п=-лл(а <12=-лж(#);
(2.12)
Решение уравнения ( 2.7) должно удовлетворять начальным и краевым условиям (разд. 1).
Свободные колебания криволинейного упругого стержня совершаются по гармоническому закону:
у((,т) = Г(£