Устойчивость упругих тел с внутренними напряжениями

• Автор: Чернега, Наталья Яковлевна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 90 с.

ВВЕДЕНИЕ
До появления новых искусственных материалов поведение реальных конструкций описывалось преимущественно линейными теориями. Это объяснялось тем, что деформации конструкций, изготовленных из большинства применяемых тогда материалов, в широком диапазоне нагрузок были пренебрежимо малы. Уравнения состояния для этих материалов при малых деформациях и установившихся однородных температурах также можно было считать линейными.
Использование начиная с середины нашего века во многих отраслях производства новых материалов, поведение которых уже нельзя описать классическими линейными теориями, вызвало в последние десятилетия интенсивное развитие нелинейной теории упругости.
Закритическое поведение гибких конструкций, использование сильно деформируемых надувных конструкций, нелинейное поведение полимеров и синтетических материалов, неразрушающие методы контроля прочности и несущей способности элементов конструкций и механизмов [14], проблемы безаварийного функционирования горных выработок [10], устойчивость при больших (конечных) деформациях, учет влияния начальных напряжений, невозможный в линейной теории упругости [9] - вот лишь некоторые области исследования,

которые стимулировали интерес к нелинейной механике твердого тела.
Одним из основных и наиболее распространенных методов, используемых для решения нелинейных задач при больших (конечных) деформациях, является полуобратный метод [8,53]. На первом этапе этого метода задаются предполагаемым видом деформации, осуществляющей преобразование отсчетной
(недеформированной) конфигурации в актуальную и содержащей подлежащие определению функции материальных координат. Затем, по этому заданию определяется выражение меры деформации, а по ней, используя уравнение состояния материала, тензор напряжения. Далее, по уравнениям равновесия в объеме и на поверхности находят распределение массовых и поверхностных сил, допускаемое
предположенным заданием вектора места в актуальной конфигурации. Часто принимают, что напряженное состояние создается поверхностными силами, а влияние массовых несущественно. На определенные таким образом поверхностные силы накладывается требование соответствия условиям задачи и из этих требований определяются неизвестные функции материальных координат, входящие в представление деформации.
Наиболее успешны достижения нелинейной теории упругости в исследованиях несжимаемого (резиноподобного) материала.
Внимание к несжимаемым материалам объясняется тем, что для них существует довольно богатый набор деформаций, принадлежащих к классу универсальных. Это такие деформации, которые можно осуществить в состоянии равновесия без приложения массовых сил в

любом несжимаемом однородном теле, т.е. независимо от конкретного задания функции удельной потенциальной энергии. Поверхностные силы, обеспечивающие реализацию такой деформации, выражаются только через эту функцию.
Уравнения, к которым приводят нелинейные теории поведения материалов и конструкций, могут быть решены точно лишь для некоторых частных случаев. Причем, в основном, они относятся лишь к телам простейших геометрических форм при простейших граничных условиях. Поэтому число точных решений нелинейных задач сравнительно невелико. Как правило, для получения результатов конкретного характера на различных этапах исследования нелинейных задач необходимо привлекать численные методы.
При рассмотрении конечных деформаций толстостенных конструкций обычно необходим анализ их устойчивости. За два века изучения устойчивости равновесия только недавно стало ясно, что потеря устойчивости не связана лишь только с тонкостенными телами, но имеет место и в толстостенных конструкциях. При достаточно больших деформациях даже неограниченная среда может стать неустойчивой [56]. Упругая неустойчивость может возникнуть и при наличии чисто растягивающих нагрузок [30,70].
Исследования по трехмерной теории устойчивости в нелинейной теории упругости принадлежат А.И. Лурье, Н.В. Зволинскому, Л.М. Зубову, Л.А. Толоконникову, К.Ф. Черныху, Л.А. Балабуху, А.Н. Гузю, У.К. Нигулу, В.А. Пальмову, М.Г. Яковенко, Дж. Адкинсу, А.Е. Грину, P.C. Ривлину, Ч. Сенсенигу, К. Трусделлу, Р. Хиллу,

ог*а = м[(1+РХг/И)" - (1 - Р)(Я/г)"|,
(2.15)
= цК.2Г2(Я, -Х.2)‘‘[А,(2, -1)-А2(Х2 -1)].
Из уравнений равновесия (1.8), где физические составляющие тензора напряжений в ортонормированном базисе эйлеровых координат выражаются через (2.15) формулами
СТ=СТ+р, СТф=0ф+р,
получим радиальное напряжение

ак(К)=|К_1(аф-стк)(1К
Граничное условие (1.13) на внутренней поверхности имеет вид

СТк(Кі)= |К_1(аФ~ак)Ж = 0- (2Л6)

Учитывая условие несжимаемости (1.4), перейдем в (2.16) к интегрированию по переменной р: