Вероятностные критерии оптимальности в линейных управляемых системах и их применение к моделям с временными предпочтениями экономических агентов

• Автор: Паламарчук, Екатерина Сергеевна
• Шифр специальности: 08.00.13
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 175 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Линейные системы управления и критерии оптимальности на бесконечном интервале времени
1.1 Вероятностные критерии и проблематика стохастической оптимальности
1.2 Описание модели и основные предположения
1.3 Свойства линейных систем управления
1.4 Линейные стохастические дифференциальные уравнения с экспоненциально устойчивой матрицей
Глава 2. Стохастическая оптимальность в линейных системах
с возмущениями
2.1 Линейно-квадратический регулятор с ограниченными параметрами возмущений
2.2 Линейно-квадратический регулятор с нарастающим возмущением
2.3 Дополнение: анализ критерия долговременного среднего в случае переменных параметров возмущений
Глава 3. Применение вероятностных критериев к исследованию линейных систем с дисконтированием
3.1 Дисконтирование как отражение временных предпочтений экономических агентов
3.2 Стохастическая оптимальность линейных систем управления с дисконтированием
3.3 Анализ результатов применения оптимальных стратегий
управления: стабилизация траекторий
Глава 4. Анализ некоторых экономических моделей
4.1 Модель управления ценой в экономике с аддитивной неопределенностью
4.2 Модель управления ценой в экономике с мультипликативной неопределенностью
4.3 Модель управления выбросами вредных веществ
Заключение
Литература

Введение
Актуальность темы исследования. Линейные управляемые системы широко применяются при моделировании различных явлений и процессов в области экономики. Необходимость оценки качества управляющих воздействий приводит к использованию целевого функционала, который часто имеет интегральный квадратичный вид и учитывает динамическую природу функционирования системы в виде наличия в нем дисконтирующей функции. Линейные системы с таким критерием обычно называет линейно-квадратическим регулятором и его экономическим приложениям посвящены работы таких исследователей, как H. М. Amman, М. Aoki, М. Athans, G. С. Chow, С. С. Holt, D. A. Kendrick, F. Modigliani, R. S. Pindyck, T. J. Sargent, J. K. Sengupta, H. Theil, S. J. Turnovsky.
При анализе поведения управляемых экономических систем на больших интервалах планирования одной из важнейших задач является оценка долгосрочных последствий применения выбранных стратегий управления. Основная трудность здесь связана с тем, что на динамику системы влияют неконтролируемые (случайные) факторы. Поэтому теоретической основой указанного анализа могут являться исследования стохастических динамических систем управления на бесконечных интервалах времени. Тема диссертационного исследования относится к проблематике так называемой стохастической оптимальности, или оптимальности с точки зрения вероятностных критериев в линейных управляемых системах. Стохастическая оптимальность для динамических систем изучалась в работах Т. А. Белкиной, V. S. Borkar, P. Dai Pra, G. В. Di Masi, М. Ghosh, Ю. М. Кабанова,
A. Leizarowitz, P. Mandl, А. В. Назина, А. С. Позняка, Э. JÏ. Пресмана,
B. И. Ротаря, М. Taksar, В. Trivellato. Вероятностные критерии, в отличие от традиционно принятых в стохастической оптимизации критериев, основанных на математических ожиданиях (м.о.) целевых функционалов,

ранее введенных понятиях управляемости и восстанавливаемости, стабилизируемое и выявляемое, а также экспоненциальной устойчивости.
В [12] было доказано следующее утверждение.
Теорема 1.1 ([12]) Любое из следующих двух условий обеспечивает выполнение предположений Т.1 и 7.2, а также сходимость к П*:
1. пара (At, Bt) равномерно вполне управляема, а пара (At, ^/Qt) равномерно вполне восстанавливаема;
2. матрица At экспоненциально устойчива.
Замечание 1.1 Если пара (At, Bt) равномерно вполне управляема, а пара (At, /Qt) равномерно вполне восстанавливаема, то для матрицы П4, являющейся решением (1.19), справедлива оценка П{ > 7Гд • I с некоторой константой 7Tr > 0, см. [52].
Как было показано в [12], для системы управления с постоянными коэффициентами, т.е. при At = А, Bt = А, Qt = Q, Rt = R, приведенные выше условия можно ослабить.
Теорема 1.2 ([12]) Предположим, что в системе с постоянными коэффициентами пара (А, В) стабилизируема, а пара (А, /Q) выявляема. Тогда выполняются предположения Т.1 и Т.2. Кроме того, lim ПГ = П, где П не зависит t.
Т—»oo *
Оказывается, условия теоремы 1.1 можно ослабить и в более общем случае, пользуясь понятиями стабилизируемости и выявляемое, приведенными в определении 1.12. Сначала докажем вспомогательное утверждение.
Лемма 1.1 Если пара (At,y/Qt) выявляема, то выполнено предположение Т. 2.
Доказательство леммы. Положим Ct = fQt и перепишем уравнение (1.21) в виде
dxt — {At + FtCt)xtdt - FtCtxtdt + Btutdt, x0 = 0 . (1.33)