Ренормгрупповой алгоритм для краевых задач в математических моделях нелинейных физических процессов

• Автор: Ковалев, Владимир Федорович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 214 с. : ил

Оглавление
Введение
Используемые математические понятия и обозначения
1 Алгоритм построения ренормгрупповых симметрий для краевых задач математической физики
1.1 Метод ренормализационной группы в теории полей
1.1.1 Функциональные уравнения в КТП и РГ Боголюбова
1.1.2 Преобразования РГ: общая формулировка
1.1.3 Ренормгрупповой метод
1.2 Структурная схема реализации РГ алгоритма
1.3 Иллюстрация алгоритма: примеры построения и применения РГС
1.3.1 Построение РГС для краевых задач, описываемых ДУ в частных производных
1.3.2 РГС для краевых задач, описываемых ОДУ первого порядка.
Использование метода инвариантного погружения
1.3.3 Ренормгруппа как подгруппа группы Ли-Беклунда, допускаемой исходными дифференциальными уравнениями
1.3.4 РГС для краевых задач, описываемых системой исходных уравнений и дифференциальными связями
2 Построение и применение РГС в краевых задачах для уравнений квазичаплыгинских сред
2.1 Уравнения квазичаплыгинских сред: обзор моделей и теоретико-групповая точка зрения
2.2 Групповая симметрия уравнений квазичаплыгинских сред
2.2.1 Линейные формы для координат группового оператора
2.2.2 Симметрии Ли-Беклунда второго порядка
2.2.3 Операторы рекурренции
2.3 РГС краевых задач для уравнений КЧС и примеры решений
2.4 Приближенные РГС в задачах нелинейной геометрической оптики: произвольные краевые данные
2.4.1 РГС для двумерного пучка: V =
2.4.2 РГС для трехмерного пучка: V =
2.4.3 Построение решений краевой задачи

2.4.4 Приближенные группы преобразований и РГС: оценка эффективности подхода
2.5 Ренормгруппой анализ сингулярности в задаче о самофокусировке волнового пучка
2.5.1 РГС и решение краевой задачи
2.5.2 Пространственная структура волнового пучка и возникновение
особенности
2.5.3 Глобальные характеристики процесса самофокусировки
2.6 Симметрии КЧС и новые решениях длинноволновой ВЭАГ вейбелев-
ской плазмы
2.6.1 Группа симметрии и инвариантные решения ВЭАГ
2.6.2 Симметрии Ли-Беклунда и новые решения ВЭАГ
2.7 Использование методов компьютерной алгебры для вычисления РГС.
3 Ренормгрупповые симметрии в задачах теории плазмы
3.1 РГС в задаче о нелинейном взаимодействии интенсивного электромагнитного излучения с неоднородной плазмой
3.1.1 Исходные уравнения и РГ многообразие
3.1.2 Группа симметрии уравнений электронной плазмы
3.1.3 РГ преобразования и нелинейная структура поля
3.1.4 Генерация гармоник электромагнитного излучения и квазиста-
тических неоднородных полей в плазме
3.1.5 Спектральный состав излучения гармоник неоднородной плазмой в поле сильной электромагнитной волны
3.1.6 Сильнонелинейная генерация гармоник излучения лазерной плазмой: исследование температурной зависимости
3.1.7 Температурные осцилляции гармоник излучения, генерируемых
лазерной плазмой
3.1.8 Лазерный поток опрокидывания плазменных волн
3.2 РГ подход в задачах кинетической теории плазмы
3.2.1 Способы вычисления симметрий для интегро-дифференциаль-
ных уравнений: обзор различных методов
3.2.2 Группа симметрии для системы уравнений Власова-Максвелла:
пример вычисления
3.2.3 Продолжение операторов точечной группы Ли на нелокальные
переменные
3.2.4 Преобразование Лоренца для диэлектрических проницаемостей
плазмы как пример ренормгруппового преобразования
3.2.5 РГС в задаче о динамике плазменного сгустка: квазинейтраль-
ное приближение
3.2.6 Приближенные РГС в задаче о динамике плазменного сгустка

Введение
В математической физике теоретическое исследование любого сложного физического процесса начинается с построения математической модели, которая передает наиболее существенные черты изучаемого явления. В большинстве случаев модель задается системой уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегро-дифференциальных и т.д.) и краевых (граничных, начальных) условий.
При анализе математических моделей различают качественные, аналитические и численные методы. К качественным методам, например, можно отнести исследование вопроса о корректности постановки краевой задачи, формулировку и доказательство теорем существования и единственности решения, а также анализ его устойчивости. Аналитические методы направлены на построение различных точных и приближенных аналитических решений краевых задач, их асимптотический анализ и т.д. Численные методы, интенсивно развивавшиеся в последнее время, для нахождения приближенного (численного) решения задачи используют вычислительный алгоритм, который реализуется при расчетах на ЭВМ в виде некоторой вычислительной схемы; обычно применяется метод конечных разностей (метод сеток), что позволяет свести решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений.
Конечно, такое подразделение методов в значительной степени является условным и скорее характеризует различные стадии (этапы) общего способа исследования любой сложной математической модели - так называемого вычислительного эксперимента [1, 2]. Зачастую эти методы взаимно дополняют друг друга: например, результаты численных расчетов могут быть использованы для уточнения некоторых параметров и коэффициентов, входящих в приближенные аналитические решения. В свою очередь, точные аналитические решения играют роль тестов при проверке численных алгоритмов, а приближенные аналитические решения указывают на наиболее характерные особенности в поведении решений, которые следует ожидать в результате численных расчетов. С точки зрения вычислительного эксперимента проводимое ниже исследование связано с его первым этапом и посвящено разработке аналитических методов, применяемых при теоретическом исследовании математических моделей.
Для достаточно сложных математических моделей, включающих нелинейные дифференциальные (и/или интегро-дифференциальные) уравнения, универсальных аналитических методов построения решений при произвольных краевых условиях не существует. Поэтому особую актуальность приобретают как задача разработки методов построения точных частных решений с краевыми данными специального вида,

РГС начальной задачи для уравнения Бюргереа
В качестве первого примера [92, 93, 94, 95] рассматривается начальная задача для модифицированного уравнения Бюргереа
щ — аи — иихх = 0 , и(0, х) = /(ж). (1.32)
Преобразованием й = ехр(ои/г/) это уравнение сводится к уравнению теплопроводности
111 (1.33)
и имеет, таким образом, точное решение, позволяющее контролировать точность метода. Построение РГС для (1.32) является наглядной иллюстрацией общей схемы, приведенной на рис.2.6, и может оказаться полезной для понимания других реализаций общего алгоритма.
В данном примере в качестве РГ многообразия КМ (первый шаг I) рассматривается уравнение (1.32) с параметрами нелинейности а и диссипации V, включенными в список независимых переменных. Применение к РГ-многообразию КМ вычислительного алгоритма Ли дает для допускаемой группы 0 (второй шаг II) девять независимых вкладов в выражение для общего элемента группы

X - Аг(а, у)А) + а(£, х, а, и)е^аи/и ди , (1-34)

Ху = 4+ 4г4жс?ж — (и/а)(х2 + 2г4)9и , Х2 — 2tдt + хдх ,
Х3 = (1/р)дь, Х4 = 2^дх - (и/а)хди , Хь = дх, Х6 = ~{р/а)ди,
Х7 - ада + {{у/а) - и) ди, Х8 = 2ид„ + хдх + 2 (и - [у/а)) ди .
Здесь Аг(а,1у) - произвольные функции своих аргументов и а{Ь,х,ау) произвольная функция четырех переменных, удовлетворяющая уравнению теплопроводности (1.33).
Набор операторов Х{ образует восьмимерную алгебру Ли, Первые шесть операторов в этом списке отвечают хорошо известным симметриям модифицированного уравнения Бюргереа (см., например, том.1, С.183 в [33]). Они соответствуют проективным преобразованиям в (^, х)—плоскости (АД, растяжениям в этой же плоскости (АД), переносам вдоль осей (ди# (АД, АД и А6) и преобразованиям Галилея (А4). Два последних генератора, Х7 и Х8, связаны с растяжением параметров а и и, включенных в список преобразуемых по групповому закону переменных. Тензор структурных постоянных Су алгебры (1.34) не зависит от групповых переменных, как это и должно быть в соответствии с утверждением о конечной размерности этой алгебры (равной восьми)

[ХьХ,] = '£,С$Хк, 1 <*,**< 8. (1.35)