Стохастические модели систем с взаимодействием при дискретных состояниях

• Автор: Калинкин, Александр Вячеславович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 255 с. : ил.

Глава 1. Уравнения Колмогорова для марковских моделей систем с взаимодействием

1.1. Марковские процессы на дискретном множестве Nn

1.1.1. Первая и вторая системы дифференциальных уравнений для переходных вероятностей

1.2. Многомерные производящие функции

1.3. Марковские процессы с взаимодействием

1.3.1. Модели систем с превращениями частиц типов

Тх Тп. Схема взаимодействий

1.3.2. Второе уравнение для производящей

функции переходных вероятностей

1.4. Ветвящиеся процессы с взаимодействием

1.4.1. Первое уравнение для экспоненциальной производящей функции переходных вероятностей
1.4.2. Второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей
1.5. Ветвящиеся процессы. Система нелинейных
дифференциальных уравнений
1.6. Класс процессов Вз
Выводы к главе 1
Глава 2. Приложения в формальной кинетике.
Обзор известных результатов
2.1. Типы процессов рождения и гибели
2.1.1. Точные решения уравнений Колмогорова

2.1.2. Вероятностные модели цепных реакций
2.2. Марковские модели химических реакций. Закон действующих масс
2.2.1. Мономолекулярные реакции
2.2.2. Бимолекулярные реакции
2.3. Статистическое моделирование процесса
’’хищник-жертва” при дискретных состояниях
2.4. Стационарное распределение для системы
взаимодействующих частиц при дискретных состояниях
2.5. Распределение числа финальных частиц в модели
£Т —* 71^1 + 72^2
Глава 3. Точные решения стационарного первого уравнения для моделей с парными взаимодействиями
3.1. Уравнение для экспоненциальной производящей
функции финальных вероятностей
3.2. Вероятности вырождения для модели с взаимодействиями
2Т -> к2Т, Т -* кгТ
3.2.1. Асимптотические свойства
3.3. Финальные вероятности для модели с взаимодействиями частиц типов Т и Т2
3.3.1. Система функциональных уравнений для производящих функций финальных вероятностей
3.3.2. Исследование характеристического уравнения
3.3.3. Частные схемы взаимодействий
3.3.4. Применение метода Римана для схемы взаимодействий
Т + Т2 -*■ 71Т1 + 72Т2, 71 + 7х < 2 .
3.4. Финальные вероятности для модели эпидемии
+Т2 -» Ти Тх ->
3.4.1. Применение метода Римана

3.4.2. Распределение числа финальных частиц
Выводы к главе 3
Глава 4. Точные решения нестационарных уравнений для моделей с парными взаимодействиями
4.1. Нелинейное уравнение теории ветвящихся процессов.
Свойство ветвления для модели Т —> кТ
4.2. Модель со схемой взаимодействий 2Т —> кТ
4.2.1. Решение первого и второго уравнений для процесса гибели квадратичного типа
4.2.2. Вывод нелинейного уравнения для процесса гибели
4.2.3. Вывод нелинейного уравнения для процесса рождения
* 4.2.4. Нелинейное свойство модели и функция Грина для
параболических уравнений
4.2.5. Вывод нелинейного уравнения для процесса
рождения и гибели в критическом случае
4.3. Нелинейное уравнение для модели с финальными
частицами 2Ti —> 71 Т-у + 72Т2
4.4. Решения второго уравнения для моделей со схемами
2Т —> к2Т, Т —>■ кТ в критическом случае
4.4.1. Модель с иммиграцией 0 —> к0Т
4.5. Незамкнутые решения первого и второго уравнений
для одномерных и двухмерных процессов гибели
4.5.1. Модель со схемой 2Т —> к2Т, к2 = 0,1; Т —>
4.5.2. Модель со схемой Ti + Т2 —»■ 71^1 + 72^2, 7i + 7i ^ 1 •
4.5.3. Модель бимолекулярной реакции Ti + Т2 —> Т3
Глава 5. Анализ марковских моделей систем
с взаимодействием при дискретных состояниях

5.1. Системы частиц в статистической физике. Цепочка уравнений

начальные условия Рла(0) = 1, Рар{0) = 0 при а^/3. Из (1.13) следует, что ряд (1.12) сходится абсолютно и равномерно по t при фиксированном z. dGp(t] z)/dt равна сумма ряда ^a(za!oiï)(dPap{t)/dt), поскольку последний сходится абсолютно и равномерно по t. Действительно, из
(1.15) следуют неравенства:

^ а
za dPap(t)
dt a Si
Е 5É Е »Ли-аді
|oc|^L i—1 -y—|a|^L i—1 l I lev l |
^ Xi J2 (a _ e.-)î Xi (a _ є»)і
»=1 ct^e* ' у г г=1 v
= 2е1гіІ+-+|г”І^Лі|г|е< < oo;

и применяем признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. После сделанных замечаний законна следующая цепочка равенств:
г) ул га dP'ар(г) га ^ Р (+\
—эг~ = Е ^ —д- = Е ^ IЕ1»«л м)
ос а
=]С л^е (£ X)
»=1 а^е* 7—а+е’^0 а^с’
= (5^р* 5^ (1_гуРч0^ ~ ^2 (а - е*)Ра0^)
г=1 г -у_Г^о а—е
V- а ..сЧ V п< дГ°№ г) д€'Ср(Р,г)
~ 4-? { {2^Рг—дР э^~~)

-E***>(s)-£)<«**>•
t=l
Условие <3/з(0; г) = 2^//3! следует из начального условия для системы
(1.15). Теорема 1.2 доказана.