Математические модели риска и случайного притока взносов в страховании

• Автор: Темнов, Григорий Олегович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 103 с. : ил.

1 Методы построения оценок вероятности разорения для классического процесса риска и численное моделирование
1.1 Определение процессов риска
1.2 Классический процесс риска: описание, представление вероятности разорения, область применения
1.3 Обобщения классической модели за счет учета флуктуаций процесса страховых выплат
1.4 Асимптотические оценки и аппроксимации вероятности разорения
1.5 Численное моделирование и расчет вероятности разорения: описание алгоритма программного комплекса
2 Процесс риска со случайным притоком: теоретический анализ, моделирование, численные методы оценивания вероятности разорения
2.1 Обоснование актуальности модели, ее определение, обзор известных результатов
2.2 Вывод представления вероятности разорения
2.3 Вероятность разорения как решение однородного уравнения ВинераХопфа
2.4 Асимптотические оценки вероятности разорения процесса со случайным притоком, аппроксимации и частные случаи
2.5 Обобщения процесса риска со случайным притоком
2.6 Моделирование процесса риска со случайным притоком и построение численных оценок вероятности разорения
3 Сравнительный анализ моделей риска посредством теоретических оценок и численного моделирования
3.1 Предельный переход от процесса риска со случайным притоком к
классическому процессу риска. Построение оценок близости двух процессов в терминах вероятности разорения
3.2 Количественное сравнение вероятности разорения двух моделей
как результат применения разработанного комплекса программ
Заключение
Литература

Общая характеристика диссертации
Происхождение теории риска; актуальность темы диссертации. История теории страхования восходит к началу XVIII века; ее возникновение принято связывать с именем Эдуарда Ллойда, владельца кофейни в Лондоне, пришедшего к идее страхования транспортных рисков в морских перевозках. Сейчас страхование — неотъемлемая часть мировой экономики, всемирная индустрия, доходы которой непрерывно растут. Роль страхования огромна и область его распространения постоянно увеличивается. Идея страхования основана на учете случайностей, и это связывает его с такими разделами математики как теория вероятностей и математическая статистика.
Слияние методов из различных теорий привело к созданию новой ветви науки, называемой страховой математикой. Из множества областей страховой математики можно выделить такие разделы как теория риска, личное страхование, платежеспособность, пенсионные фонды, модели выживания и распределения потерь и другие. Каждой из этих областей посвящено множество научных работ, так что теоретическая база страховой математики весьма обширна.
Исследования настоящей работы находятся в основном в сфере теории риска. В этой теории основным объектом исследования является модель „случайного процесса, генерирующего случайные выплаты по портфелю или страховым полисам. При этом исследователя интересует прежде всего изменение объема портфеля в целом, а не индивидуальные полисы в отдельности“ [34]. Причем наибольший интерес представляет вероятностное распределение, характеризующее возможность для такого процесса пересечь некоторый критический уровень текущего капитала, — вероятность разорения.
Основателем теории риска считается Ф.Лундберг. В своих классических работах [41], [42] он первым рассмотрел задачу об оценке вероятности разорения. Основы теории риска как математической теории были сформулированы X. Крамером в [26], [27]. Дальнейшие шаги в развитии теории были сделаны X. Гербером, С. Несбиттом, Дж. Бекманом, П. Эмбрехтсом и многими другими. Имеется ряд достаточно полных обзоров результатов теории риска, например, книги X. Бельманна [24], Дж. Гранделла [35] и другие. Для изучения теории риска был задействован целый ряд специальных методов теории вероятностей: мартингальный подход, теория марковских процессов, теория „геометрического

суммирования“ случайных величин и др. (см. [29], [35], [38], [44]). Использование этих методов позволило продвинуться в изучении асимптотического поведения вероятностей разорения, разработке методов одностороннего и двухстороннего оценивания вероятностей разорения, построении нестандартных моделей риска.
В монографии В. В. Калашникова [37] подробно изложены основы теории риска, касающиеся главным образом классического процесса риска и его обобщений, и описаны методы построения оценок вероятности разорения. Исследования проблемы оценивания вероятности разорения были продолжены в работах В. Ю. Королева и В. Е. Бенинга ([2], [3] и других), в которых было уделено внимание построению практически применимых точечных и интервальных оценок вероятности разорения для классического процесса риска и его обобщений.
В настоящее время теория риска все еще находится в стадии интенсивного развития, к удовлетворению ее исследователей, и, возможно, к сожалению потенциальных ее потребителей, заинтересованных в возможности наискорейшего использования результатов теории. Актуальность проблем, связанных с теорией риска, вызвана ростом популярности страхового дела в мире; в последнее десятилетие теория страхования начала развиваться и в России.
Строящиеся в теории риска математические модели предназначены для описания реальных процессов изменения капитала, происходящих внутри финансовых структур. Классический процесс риска как базовая модель теории риска получил широкое применение для описания деятельности страховых компаний в развитых странах со стабильной экономикой. Однако эта модель содержит допущение, существенно ограничивающее область ее применения, — линейность притока страхового капитала. Очевидный интерес представляет более общая модель, учитывающая стохастический характер притока капитала в страховую компанию. Первые шаги по исследованию этой модели были сделаны в [4], где изучались в основном асимптотические представления для вероятности разорения (без вывода явного представления вероятности разорения и без подробного анализа результатов численного моделирования).
Цель работы — исследовать модель риска, обобщающую классический процесс риска за счет учета случайности притока страхового капитала (процесс риска со случайным притоком), в частности, получить явное представление для вероятности разорения, построить алгоритм расчета и численного моделирования вероятности разорения и проверить построенную теорию с помощью компьютерного моделирования. Чтобы исследование было более полным, требовалось сначала проанализировать результаты изучения классического процесса риска и построить практически применимый алгоритм вычисления вероятности разорения для него.
Основные задачи. Работа по исследованию предложенной модели содержит решение следующих задач:
1. Разработан практически применимый алгоритм расчета вероятности разорения для классического процесса риска на основании случайной выборки

— приводят к тождеству
(1 -д)Л(в) = «л(в). (2.28)
Поскольку х.ф. Д соответствует собственной с.в., то Д(0) = 1, и д (вероятность конечности первого лестничного момента) определяется равенством q = 1 -54(0).
Чтобы воспользоваться факторизацией (2.27) или тождеством (2.22) для вычисления функции й/,, необходимо выразить х.ф. и>, соответствующую с.в. через х.ф. {х и 5у, соответствующие распределениям страховых выплат и взносов.
Принимая во внимание независимость с. в. Х± и рх, запишем:
Й(в) = Е(е”&) = Е(е“№-«)) = ЕД“*1)^““"1) = ?х(з)Рг(-8), (2.29)
где — характеристическая функция для с.в. рх (ф.р. величин рг будем обозначать Рц).
Для классического процесса риска рп = свп, и функция РДж) пропорциональна экспоненциальной функции распределения. Соответствующая х.ф. опре-деляется выражением
(2.30)
—дД / Ах/с
Ai/c — is’ ~ , ч /x(s)
(2.31)
I к модели со случайным притоком. Поскольку случайные величины {д„} и {1^} связаны между собой соотношением (2.3), то
( JV2(ii12aH-41)) WXh)
%{-s) = Е(е-“<‘») = Е exp -is Y^, Yi + is Y Yi
I i—0 i-0
п > 1.
Случайные величины {д„} одинаково распределены, так что достаточно получить выражение для
E(e~”w) = Е ехр Переходя к условному ожиданию, запишем:

E(e~“w) = J Et(e~islil)dAXl(t), (2.32)