Численные методы, использующие старшие производные, для обыкновенных дифференциальных уравнений с контролем точности

• Автор: Меркулов, Аркадий Игоревич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 125 с. : ил.

1. Обзор литературы

1.1. Одношаговые методы

1.2. Жесткие уравнение и понятие устойчивости

1.3. Итерационные процессы

1.4. Автоматический контроль точности вычислений

2. Е-методы и их устойчивость

2.1. Пример построения Е-метода

2.2. Е-методы со старшими производными

2.3. A-устойчивость Е-методов со старшими производными

2.4. Формулировка комбинированных Е-методов

’>* 2.5. Исследование сходимости комбинированных Е-методов

3. Эффективная реализация Е-методов и контроль точности
3.1. Применение предикторов
3.2. Итерации Ньютона общего вида
3.3. Локально-глобальный контроль точности
А. Библиотека программ
А.1. Функции и структуры для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений
А.1.1. Заголовочный файл numerics .h
А.1.2. Структура odestruct
А.1.3. Структура solveropt
А.1.4. Структура statistics
А.1.5. Заголовочный файл emeth.h
А.1.6. Пример использования функций библиотеки
Литература

Известно, что многие математические модели динамического типа в области биологии, медицины, механики, электротехники, химической кинетики и т. д. представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Очень часто аналитическое решение указанных систем найти крайне сложно или вообще невозможно. Поэтому для практического исследования таких моделей используют разного рода численные методы.
Естественно, что наибольший интерес представляют высокоточные методы, имеющие высокий порядок сходимости. В виду того, что построение данных методов представляет собой довольно трудоемкий процесс, актуальным является разработка методик, позволяющих облегчить процесс формулировки методов и определения порядка их сходимости. В диссертации указанную проблему предлагается решить с помощью явного вывода класса методов, использующих старшие производные.
Отметим также, что практическое использование численных методов невозможно без внесения определенных ошибок в получаемые результаты. Поэтому крайне актуальной задачей является исследование методик оценки локальной и глобальной ошибок для полученного класса одношаговых методов и построение на их основе алгоритмов, позволяющих достичь любую разумную наперед заданную точность вычислений в автоматическом режиме.
Таким образом, целью диссертации является разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов, использующих старшие производные, для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом важнейшей задачей, имеющей большое прикладное значение, является обеспечение заданной точности вычислений в автоматическом режиме.
Диссертация имеет как теоретическую, так и практическую ценность. Полученные в ней теоретические результаты представляют интерес для численного решения нелинейных дифференциальных уравнений с контролем глобальной ошибки, что в прикладном аспекте создает плодотворную базу для разработки автоматизированных систем математического моделирования в различных областях науки. При этом способность
обеспечивать заданную пользователем точность вычислений в автоматическом режиме существенно повышает достоверность математического моделирования на практике.
^ Приведем краткое содержание диссертации, состоящей из трех глав
и приложения.
Первая глава, носит вводный, вспомогательный характер и обозначает основные достижения в области исследования одношаговых методов, включая алгоритмы вычисления и управления их локальной и глобальной ф ошибками в процессе счета.
В параграфе 1.1 изложены базовые результаты, полученные в области одногошаговых методов для численного решения ОДУ. Приведена последовательность развития теории указанных методов от явных к методам со старшими производными. Параграф 1.2 посвящен рассмотрению жестких задач и связанных с ними аспектов теории устойчивости одношаговых методов. Необходимость применения итерационных алгоритмов для реализации неявных методов стало причиной детального исследования теории итерационных процессов в параграфе 1.3. Наконец, параграф 1.4 посвящен такому важному аспекту как построение алгоритмов для автоматического контроля точности на практике.
Вторая глава, состоящая из шести параграфов, посвящена решению задачи построения исследуемого класса методов и рассмотрению основ-Л ных аспектов их практической реализации. Именно
глава 2 содержит основные теоретические результаты данной диссертации.
В параграфах 2.1 и 2.2 приведена методика построения методов со старшими производными на основе использования интерполяционных полиномов Эрмита, выведены явные формулы для вычисления коэффициентов методов, показана сходимость всего класса методов и выведены оценки их погрешности. Параграф 2.3 посвящен исследованию устойчивости нового класса численных методов.
В параграфах 2.4 и 2.5 рассмотрены различные аспекты практической реализации указанных методов в силу их неявного характера. Во-первых, на основе .метода простых итераций и итераций Ньютона были построены три класса комбинированных алгоритмов. Во-вторых, исследован вопрос о сходимости полученных методов и выведены оценки их погрешности. В-третьих, приведены результаты численных экспериментов, подтверждающих теоретические выкладки.
Третья глава, состоящая из трех параграфов, посвящена решению задачи эффективной реализации предложенных в диссертации методов, а 4 также обеспечению заданной точности вычислений на основе автоматического управления размером шага интегрирования.

разрешения соответствующей нелинейной системы. Во-вторых, теоретический (в данном случае шестой или восьмой) порядок сходимости достигается только при достаточно большом числе итераций в точке сетки, причем для каждого из рассмотренных выше итерационных процессов это число свое.
Таким образом, крайне важно теоретически определить порядок методов (2.4.2)-(2.4.4) и найти тем самым оптимальное число итераций для каждого комбинированного алгоритма, что является предметом исследо-« вания в следующем параграфе. Здесь же только отметим, что доказанная в параграфе 2.3 А-устойчивость Е-методов (2.2.2) естественным образом переносится на ЕПИ-, ЕН- и ЕМН-метод при достаточно большом числе итераций, а значит, построенные алгоритмы (2.4.2)-(2.4.4) приспособлены для решения жестких задач.
2.5. Исследование сходимости комбинированных Е-методов
Для доказательства сходимости комбинированных методов (2.4.2)-(2.4.4) нам потребуется следующий теоретический результат для 14'" с расстоянием
# р(х',х") = \х'-х"\, (2.5.1)
где 11*11 = шах |*;|, I = 1... т.
Лемма 2.5.1. Пусть — выпуклое множество в 11ш с расстоянием (2.5.1). Тогда для любого С > 0 множество
И = {х Е Ыт : р{х, А,) < С}
выпукло.
Доказательсво приведено в [21, с. 91]. Помимо этого мы будем использовать лемму о возмущении [39, с. 49].
Лемма 2.5.2. Пусть А, С € Д(Р1т), причем матрица А — обратима и ||'4_1|| < а. Если ||А — С|| < /3 и /За < 1, то матрица С также обратима и
ЦС-Ч1 < ^ (2.5.2)
В дальнейшем, как в теореме 2.2.1, предположим, что правая часть системы (1.1.1) — достаточно гладкая вектор-функция. Данный факт гарантирует, что существует компактное множество С Р12т, на котором отображение Ск из (2.4.1) также достаточное число раз непрерывно