Асимптотическое исследование некоторых нелинейных моделей математической физики

• Автор: Несмеянов, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 114 с. : ил.

Глава I. Формулировка краевых задач теории мелководных волн

1.1. Физическая постановка задачи

1.2. Гидродинамическая аналогия в теории мелководных волн

1.3. Вывод основных уравнений

1.4. Вывод краевых условий

1.5. Математическая формулировка краевой задачи

1.6. Описание метода полной аппроксимации. Получение формул для коэффициента давления
Глава II. Дифракция мелководных волн на тонком теле при движении с околокритической скоростью

2.1. Формулировка и решение краевой задачи при числах Фруда больших единицы

2.2. Анализ полученных результатов

2.3. Формулировка и решение краевой задачи при числах Фруда меньших единицы

2.4. Анализ полученных результатов
Глава III. Низкочастотные гармонические колебания телесного профиля в околозвуковом потоке газа при числах Маха больших единицы
3.1. Формулировка и решение краевой задачи
3.2. Анализ полученных результатов

Глава IV. Оптимальные формы обтекаемых контуров тел минимального волнового сопротивления при околокритических скоростях и числах Маха или Фруда больших единицы
4.1. Формулировка и решение задачи определения профиля крыла самолёта
4.2. Анализ полученных результатов
4.3. Формулировка и решение задачи определения контура ватерлинии корабля или гидросамолёта
4.4. Анализ полученных результатов
Заключение
Литература

Актуальность проблемы.
При исследовании математических моделей теории околозвуковых течений в газовой динамике и околокритических течений в гидродинамике на мелкой воде возникают задачи, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго и выше порядков. В частности, это задачи теории мелководных волн, ряд задач околозвуковой газовой динамики и другие.
Первые теоретические работы в этой области относятся к 40-м годам. В течении последующих четырёх десятилетий были получены решения ряда задач теории мелководных волн, касающиеся сверхкритических и докритических режимов обтекания тел, что соответствовало сверхзвуковым и дозвуковым течениям в газовой динамике, но только в линейной постановке. Значимые результаты были получены Н.Е. Жуковским [22], A.A. Костюковым [26], А. Мие-ле [76], М.Д. Хаскиндом [80], J1.H. Сретенским [72], Д. Ньюменом [56], Дж. Коулом, JI. Куком [29], J. С.М. Коротковым [25], J. A. Aranha, C.A. Martins [83] и др. Решение же вышеупомянутых задач в нелинейной постановке вызывало большие трудности, что было связано с несовершенством математического аппарата их исследования. Актуальность данного направления послужила в последние годы толчком к разработке и развитию ряда качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей, которые успешно применялись к отдельным задачам. Общий обзор методов дан в работах [3, 5-7, 9, 71, 35-37,12,17, 63,64, 81].
С точки зрения современного состояния теории большой интерес представляют работы ученых Новосибирского института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева И.В. Стуровой [73] - [74] и И.К. Тена [75]. И.В. Стуровой найдены решения двумерных нестационарных задач о поведении плавающей на свободной поверхности жидкости упругой балки конечных размеров и упругой круг-

X = ^ + Х(^,?и),у = (/К12)г], ї=к, Xі) = Вхл((р(%,г],і) + С0 - £С,).
а между (р°(х,у,0 и <рп существует асимптотическая связь(еоценка)
<р°(х,у,0 = <р°(£,Т],0 + О(£2+п),
то решение рассматриваемой нелинейной задачи существует и в пространстве деформированных координат оно будет иметь вид

Рг о
Біпй|е-“”5Л(*-г{-1 I ) Рассчитаем, теперь, усилия, действующие на тело. Для этого необходимо вернуться к исходным переменным в пространство П(х, у,ґ). Используя формулы для коэффициента давления [66]
с" =-щ'ті+в1,2сІ)-в1,у/т‘Рї'(ті +о(є2п, <2.1.8)

+ гу°'(#,о,г)< (#,0)) + <Р°‘ (£ ,0,/)] ± + 0(£г"),
запишем выражения для скачков давления
де/ = = 4[р;я(е,у)
-2 в21>;4,у)1рГ(4,у),
(2.1.9)
(2.1.10)