Численно-аналитические методы и алгоритмы для исследования гамильтоновых систем ангармонических осцилляторов в классическом и квантовом подходах

• Автор: Флоринский, Вячеслав Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 130 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Нахождение собственных значений нелинейных одномерных осцилляторов с помощью метода Линдштедта-Пуанкаре
Введение

1.1. Метод Линдштедта-Пуанкаре

1.2. Интегрирование классических уравнений движения

методом Линдштедта-Пуанкаре

1.3. Правило Бора-Зоммерфельда

1.4. Основные результаты

2. Нахождение собственных значений оператора

Шрсдингера методом нормальных форм Депри-Хори
Введение
2.1. Постановка задачи
2.2. Метод нормальных форм Депри-Хори для
одноямного потенциала
2.3. Метод нормальных форм Депри-Хори для потенциала
с двумя минимумами
2.4. Результаты численных расчетов
2.5. Сравнение метода нормализации Депри-Хори и метода вычисления спектра с помощью рядов Линдштедта-Пуанкаре
3. Символьно-численный метод решения уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов
Введение
3.1. Случай одного минимума
3.2. Результаты численных расчетов
3.3. Символьно-численный метод решения уравнения Шрёдингера
с помощью степенных рядов в случае двухъямного потенциала
3.4. Полученные результаты
Заключение
Список литературы
Приложение А
Приложение Б
Приложение В
Приложение Г
Приложение Д

Введение
Актуальность темы. Многие задачи квантовой механики [1 - 7], прикладной математики, техники [8 - 13] приводят к уравнениям, в которых требуется найти собственные значения и собственные функции различных линейных операторов. К таким уравнениям относится, в первую очередь, нерелятивистское уравнение Шрёдингера.
В данной работе предложены новые способы решения задачи на собственные значения некоторых дифференциальных операторов на примере одномерных ангармонических осцилляторов. Ангармонический осциллятор -это колебательная система, в которой присутствует внешняя сила. Такие системы имеют практическую значимость, например, в квантовой механике (задача о поведении частицы во внешнем поле), в химии (исследование периодических реакций, управление химическими реакциями с выходом заданного реагента [14 — 16]), в технике (нанотехнологии, управление хаосом в микросистемах и др.).
В этих и других приложениях важнейшее значение имеет спектр и собственные функции дифференциального оператора, являющегося моделью исследуемой системы. Они определяют некоторые инвариантные характеристики системы, сохраняющиеся (за исключением масштабирования) при изменении входных параметров. В частности, спектр оператора, входящего в уравнение Шрёдингера [17], определяет все возможные значения полной энергии системы, а его собственные функции являются волновыми функциями исследуемой системы [1 - 3, 18 - 26]. Поэтому нахождение собственных

возможность оценить преимущества и недостатки каждого подхода. Кроме того, это позволяет убедиться в достоверности полученных результатов.
В настоящей главе уравнение Шрёдингера с одноямным и двухъямным потенциалом решается методом нормальных форм Депри-Хори [57 - 60, 70, 71, 92 - 102]. Проводится сравнение полученных решений с данными, приведенными в литературе [49]. Создан модельный гамильтониан, с помощью которого проведено сравнение методов нормализации и Линдштедта-Пуанкаре.
2.1 Постановка задачи
Рассмотрим одномерное уравнение Шрёдингера для ангармонического осциллятора с потенциалом четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности:
ЯдДх) = 7и//(х), (2.1.1)
Н = х2 +ах", (2.1.2)
м 2 dx2
где х - пространственная координата, ц = 4, 6, 8 - степень нелинейности, а - параметр, 1//(х) — волновая функция и Е - спектр оператора (2.1.2). Требуется найти спектр оператора (2.1.2), т.е. все значения постоянной Е, удовлетворяющие уравнению (2.1.1).