Случайные кубатурные формулы в задачах планирования эксперимента

• Автор: Мисов, Трифон Иванов
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Глава 1. Задачи, использующие распределение Д2
1.1 Приближенное вычисление интегралов (задача 1)
1.2 Разделение ошибок в регрессионном анализе (задача 2)
1.3 Нахождение точных ^-оптимальных планов (задача 3)
Глава 2. Моделирование распределения Д2 в непрерывном случае
2.1 Подходы и известные результаты. Метод отбора
2.2 Оценка трудоемкости метода отбора
2.3 Условные плотности как смеси распределений
2.4 Оценка трудоемкости моделирования условных плотностей
2.5 Сравнение величины трудоемкости методов отбора
и условных плотностей
2.6 Примеры вычисления интегралов

Глава 3. Моделирование распределения Д2 в дискретном случае
3.1 Подходы и известные результаты. Метод обращения
3.2 Использование метода отбора
3.3 Использование условных плотностей
3.4 Сравнение трудоемкостей предложенных методов
3.5 Примеры разделения ошибок
Глава 4. Моделирование обобщенного распределения Д2 и вычисление точных 71-оптимальных планов
4.1 Вид условных плотностей обобщенного Д2-распределения
4.2 Моделирование обобщенного распределения Д2 и оценка
его трудоемкости
4.3 Качество приближения
4.4 Замечание о моделировании в области сложного вида
4.5 Примеры нахождения 12-оптимальных планов
Заключение
Список литературы

Распределение Д2 играет важную роль по крайней мере в трех задачах: уменьшения дисперсии при вычислении интегралов методом Монте-Карло (условимся называть ее в дальнейшем задачей 1), анализа систематической погрешности в регрессионном анализе (задача 2), а также построения точных Л-оптимальных планов в теории планирования эксперимента (задача 3). Первая задача рассматривается подробно в [4], а вторая в работах [4] и [16].
Использование распределения Д2 требует его моделирования. Однако, до недавнего времени были предложены методы (в непрерывном случае -метод отбора, а в дискретном - метод обращения), чьи трудоемкости растут очень быстро с ростом п размерности моделируемого вектора. Это обстоятельство создавало значительные трудности при решении задач, в которых п велико.
Целями данной работы являются, во первых, построение эффективных алгортимов моделировния распределения Д2 во всех его модификациях -непрерывной, дискретной и обобщенной. Во вторых, проиллюстрировать на важных примерах преимущество использования распределения Д2 в задачах 1 и 2. В третьих, рассмотреть неисследованную в контексте Д2 задачу 3, получить результаты о близости полученной аппроксимации точного Л-оптимального плана и проиллюстрировать предложенную

3 /5 ,/ч
’Мх> у) = 2ХУ’ ^б(ж> у) = - 1)'> ^(ж, 2/) = ^-(5я3 - Зя);
/ ^ 15 о / . 15 п ^ ^ 7, о ,
Ы*>У) = —ж у; щ(х,у) = —£-ху ; ^ш(ж,у) = -^-(5у - Зу)
В Таблице 3 приведены времена работы программы моделирования А2(<Э) чистым методом отбора и с помощью условных плотностей.
п Иф ЦеаиР Типе Сопс! ПевиЦ Сопс! Типе С/Й Шйю (к)
2 2,549122 0,041 2,570709 0,016 0,390
3 2,698118 0,817 2,712320 0,341 0,417
4 2,676244 8,712 2,699003 0,988 0,113
5 2,657773 22,03 2,686741 1,331 0,060
6 2,661136 46,11 2,670315 1,461 0,032
7 2,667349 85,31 2,670299 1,601 0,019
8 2,665210 334,1 2,668023 5,529 0,017 !
9 2,664908 1673,7 2,6627524 12,97 7,7.10~3
10 2,665001 132586 2,664989 54,15 4,0.10
Таблица 3: Результаты подсчета двумерного интеграла
Пример 4 Пятимерный случай, X = [—1,1]°, д - мера Лебега В этом случае исследуемый интеграл имеет вид
ИД]5