Обратные спектральные задачи для математических моделей с дробной степенью оператора Лапласа

• Автор: Закирова, Галия Амрулловна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Магнитогорск
• Количество страниц: 84 с.

Содержание
Введение

1 Вспомогательные утверждения

1.1 Предварительные сведения

1.2 Некоторые свойства одной числовой последовательности

1.3 Некоторые замкнутые множества

2 Обратные спектральные задачи для возмущенного оператора Лапласа и его степеней

2.1 Основные спектральные тождества для дискретного дифференциального оператора

2.2 Степень оператора Лапласа с потенциалом на ТУ-мерном параллелепипеде

2.2.1 Задача Дирихле

2.2.2 Задача Неймана

2.3 Возмущенный оператор Лапласа с неядерной резольвентой на А-мерном параллелепипеде
2.4 Степень оператора Лапласа с потенциалом на равнобедренном прямоугольном треугольнике
3 Приближенное решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа
3.1 Алгоритм численного решения
3.2 Программа
3.3 Пример
Список литературы

Введение
Постановка задач. Обратные задачи спектрального анализа заключаются в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам, к которым молено отнести спектр, спектральную функцию, данные рассеяния и т.д. Данная диссертация посвящена исследованию обратных спектральных задач следующего вида.
затъ существование оператора Р такого, что спектр сг(Т + Р) возмущенного оператора совпадает в смысле средних с последовательностью
Подобные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют множество приложений в естествознании. Например, в квантовой механике движение свободной частицы в потенциальном поле II описывается оператором
Обратная задача состоит в определении потенциала 17 но известным спектральным данным оператора Н. Решение этой и подобных обратных спектральных задач в квантовой механике позволяет определить: внутриатомные силы по известным уровням энергии (т.е. спектру); каким потенциальным возмущением молено устранить из дискретного спектра произвольный уровень, не трогая остальных; как породить на заданном месте новый уровень энергии; как сдвигать локализацию отдельных состояний в пространстве и на энергетической шкале; как изменять скорости распадов
(03)
Пусть дана последовательность комплексных чисел {6}£х, близкая к спектру невозмуги,енного оператора Т. При различных степенях оператора Т требуется дока-
отдельных квазистационарных состояний (резонансов) и квантовые переходы между дискретными состояниями; как управлять прозрачностью квантовых систем, туннелированием.
Решение перечисленных обратных физических задач позволяет, в свою очередь, создавать технологии перестройки систем в микроэлектронике, квантовой оптике, тонких квантовых проводников и др. [33]. Кроме того, обратные задачи широко используются в радиоэлектронике при синтезе параметров неоднородных линий передач с заданными техническими характеристиками [48], [55], в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний [89], в геофизических моделях земного шара [92], [95], космологии [33] и т. д.
В настоящее время наиболее активно исследуются модели с целыми степенями операторов, в частности, с оператором Лапласа и би-Лапласа. Однако, в последнее время в приложениях [84] возникают математические модели с дробными степенями оператора Лапласа. Это связано с тем, что для плотных газов, жидкостей, твердых тел потоки неравновесных импульсов и энергий формируются не за счет диффузионного переноса массы, а за счет сил взаимодействия "соседних" частиц.
В данной диссертации дается качественное и численное исследование задачи (03) в случае, когда оператор Лапласа, заданный на АГ-мерном параллелепипеде краевыми условиями Дирихле или Неймана, имеет кратный спектр и степень (3 € М+. А именно, целью данной-работы данной работы является исследование существования и единственности решения и восстановление потенциала в обратных спектральных задач для математических моделей с возмущенной степенью оператора Лапласа с кратным спектром. Для достижения этой цели необходимо было решить следующие

Лемма 2.1.2. Если Яо(А) € ©оо, А € П и Р £ 93(Я), то имеет место тождество:
(-1)%/ Л(А)Ло(Л)(РЛо(Л))Л = Ы!!!1:8р [ /,(А)(РД„(Л))Л.
•/г4 « Уге
(2.1.9)
Доказательство. Оператор (РД0(А))Й 6 93(Р) [18]. Если Л - вполне непрерывный оператор, а В - ограниченный, то Эр(АР) = Зр(РА) [18, с. 129]. Проинтегрируем по частям левую часть равенства (2.1.9), имеем
(-1)*3р [ а(А)До(А)(рДо(А))/А
= к I л(А)8р{д0(А)(РДо(А))1РД0(А)}йЛ
- (-1)* [
7 г«
= (-1) [ (Л)(рДо(А))РД0(А)
и Ть
=(-1)‘8р{9,(Л)(рЛ0(А})'1|г -1 Л(А)(рЛо(Л))‘1(л}.
Поскольку приращение операторной функции по замкнутому контуру Г4 равно нулю, то имеем
(-1)рУ цг(Л)Ро(А)(РРо(А))А - Цр /ФЛ)(РР0(А))Л. □