Проектирование расчетной схемы для упруго-пластической среды с эффективным тензором деформации

• Автор: Пешков, Илья Михайлович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 103 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

1.1 Основные понятия и обозначения

1.2 Симметрические гиперболические системы

1.2.1 Необходимые сведения из теории СГС

1.2.2 Симметризация в терминах напряжений Пиола-Кирхгофа

1.2.3 Симметризация в терминах деформаций

1.2.4 Вычисление матриц коэффициентов

1.2.5 Условия выпуклости уравнения состояния и корректности

задачи Коши
1.3 Уравнение состояния
1.3.1 Модельное уравнение состояния
1.3.2 Анализ критерия гиперболичности и необходимость смены
постановки задачи
1.3.3 Смена постановки задачи. Введение новой независимой переменной Ж
1.3.4 Замечание о симметризациях в новой постановке задачи. Постулирование дискретной модели
1.3.5 Определение констант уравнения состояния
ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
2.1 Разностная схема
2.1.1 Схема Годунова
2.1.2 Приближенное решение задачи о распаде произвольного
разрыва для консервативной системы уравнений
2.2 Одномерный случай
2.2.1 Основные свойства одномерной задачи
2.2.2 Характеристики в одномерном случае
2.2.3 Несколько критических замечаний к реализации расчетной
схемы
2.3 Разрывные решения. Примеры простейших одномерных расчетов
2.3.1 Разрыв в продольной компоненте скорости. Сходимость разностного решения

2.3.2 Разрыв в продольной компоненте скорости. Задача о распаде разрыва
2.3.3 Разрыв в поперечной компоненте скорости
2.3.4 Разрыв в продольной компоненте скорости в анизотропном
материале
ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНАЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА
3.1 Тензор эффективных упругих деформаций
3.1.1 Тензор эффективных упругих деформаций. Условия совместности деформаций
3.2 Расчеты ударно-волнового нагружения металлов
3.2.1 Пример 1. Столкновение алюминиевых пластин
3.2.2 Пример 2. Столкновение урановых пластин
3.3 Двухмерные расчеты. Задача о косом столкновении пластин
Выводы
Список литературы

Введение
Во многих задачах современной физики появляется необходимость исследования и прогнозирования реакции материалов и конструкций на интенсивные динамические воздействия, например такие, как высокоскоростной удар, взрыв, импульсы мощного лазерного излучения и т. д.
Вместе с тем из-за большой сложности таких быстро протекающих процессов и трудности их наблюдения появляется и необходимость в математическом моделировании. При этом для высокоскоростного деформирования материалов в ударных волнах, помимо быстрого сжатия вещества до высоких давлений и его адиабатического разогрева, современные модели должны учитывать такие чрезвычайно быстро протекающие процессы, как процессы упруго-пластической деформации, разрушения, полиморфных и фазовых превращений, химические реакции, явления электрической поляризации, ионизации и другие физические и химические явления. Тем самым современные модели должны обладать способностью адекватно описывать фундаментальные свойства вещества и неравновесных процессов в экстремальных условиях.
Многие из этих задач могут быть смоделированы на макроуровне — уровне сплошной среды. При этом свойства материала, являющиеся следствием его микроструктуры или мпкропроцессов протекающих в нем, описываются достаточно сложными нелинейными уравнениями состояния.
Например, в рамках такого подхода весьма актуальными являются вопросы построения математических моделей нелинейной теории упругопластических деформаций твердых тел и способов их эффективного исследования с применением ЭВМ, которым и посвящена данная работа.
Основной целью настоящей работы была разработка и программная реализация алгоритма нахождения численного решения нелинейной системы теории упругости формализованной в виде симметрической гиперболической системы с общим видом уравнения состояния. А также апробация разработанного алгоритма на задачах высокоскоростного деформирования металлов.
Главным образом, диссертация является продолжением работ С. К. Годунова в области механики сплошных сред и вычислительной математики, проводимых им и под его руководством его учениками на протяжении последних более чем 45 лет. При этом основными понятиями, которыми мы будем оперировать - это законы сохранения в форме Годунова, симметрические

Более того, при сжатиях хотя бы по одному из направлений, например, к3 < 1 для некоторого j, это отношение становится и вовсе отрицательным. Другими словами, мы не можем гарантировать корректность задачи Коши в той постановке, как она была сформулирована в (1.1.1)!
1.3.3 Смена постановки задачи. Введение новой независимой переменной Ж
В этом пункте мы изложим модификацию постановки задачи нелинейной теории упругости, которой необходимо пользоваться, чтобы избежать противоречий полученных в предыдущем пункте.
В силу инвариантности УС относительно ортогональных преобразований системы координат, зависимость УС от элементов тензора деформации не может быть произвольной. На эту зависимость мы наложили ограничения (зависимость от энтропии мы пока опустим)
Ф = Ф(сц, С21,
где Ж, Ж и 0 - ортогональные инварианты матрицы С.
Новая постановка задачи заключается в том, что с этого момента будем считать инвариант Ж = рц/р и элементы Сц тензора деформаций независимыми переменными. Другими словами будем считать, что внутренняя энергия будет описываться функцией Ф переменных Ж, Су
Ф = Ф(Ж, Ж, 0) — Ф(Ж, Ж(Си, С21, . , Сзз), 0(Сц, С21, . , Сзз)) (1.3.7)
и мы будем теперь требовать выпуклости Ф по всем "аргументам Ж, c,j. Такая постановка позволит нам обеспечить условия гиперболичности (1.2.21). Проверим так ли это на самом деле для модельного УС (1.3.5).
Далее мы опустим значок ” ” у функции Ф, подразумевая под Ф
именно зависимость Ф(Ж, Ж(сц, оц
Фудуд Ф"/Ас„ Фу/'сзз ( Фудуд 0 0 >
ф с„УД Ф9пс„ ФсцСзз — 0 Фсцгц ФсцСзз
Ф«*)Г ФсззСц ' Фсззсзз V 0 ФсззСц Фс33с33 )