Математические модели и алгоритмы решения задачи разделения движения для эмпирических данных с трендом

• Автор: Гадзаов, Алексей Федорович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 118 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Обзор проблем разделения движения

1.1. Постановка задачи разделения движения

1.2. Методы моделирования трендов

1.3. Методы выявления колебаний

1.4. Требования к моделям и алгоритмам решения задачи разделения движения

Глава 2. Модели и алгоритмы обработки эмпирических данных с трендом

2.1. Модели исключения тренда

2.2. Модели и алгоритмы определения почти '- периодов

2.3. Согласование алгоритмов исключения тренда и определения величины почти - периодов
2.4. Алгоритм определения трендовых составляющих в эмпирических данных
2.5. Алгоритм решения задачи разделения движения
Вывод
Глава 3. Исследование динамических характеристик нелинейных систем по эмпирическим данным
3.1. Выделение колебаний в данных с трендом
3.2. Определение набора почти-периодов
3.3. Определение эффективных значений характерных времен при
исключении тренда и определении почти-периодов
3.4 Выделение трендовых составляющих в эмпирических данных
Выводы
Заключение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Введение
Актуальность работы. При исследовании эмпирических данных часто решается задача о разделении движения на трендовую и колебательную составляющие.
Для механических систем, где тренд описывается уравнением движения центра масс, его исключение не представляет особой сложности. Решение задачи о разделении движения, когда уравнения для опорной траектории неизвестны, связано с большими трудностями. Регулярных методов решения этой задачи фактически нет.
Стандартные методы исключения тренда основываются на аппроксимации исходного ряда определенной зависимостью. После определения параметров используемой модели считается, что уравнения тренда теперь известны.
В действительности, использование этого метода не гарантируют исключение тренда без потери существенной информации о процессе или возникновения колебаний, изначально не присутствующих в исследуемых эмпирических данных. Это происходит из-за несоответствия используемых моделей свойствам реальных процессов.
При исследовании оставшихся после исключения тренда колебаний возникают аналогичные проблемы. Исследуемым колебаниям навязывается определенная структура, например, ряд Фурье. Эффективный анализ колебаний возможен, когда структура модели соответствует исходным данным, что на практике встречается довольно редко. Их несоответствие компенсируется изменением структуры самой модели до тех пор, пока полученный результат не будет отвечать определенным критериям. Однако, при этом теряется физический смысл получаемых параметров, становится неясной их связь с реальным процессом.
Актуальной проблемой является разработка моделей, алгоритмов и программ, позволяющих реализовать исключение тренда, гарантирующих
сохранения структуры колебаний, выявление структурного полного набора почти-периодов и определение на этой основе характеристик самого процесса.
Актуальными задачами, позволяющими решать эту проблему, являются:
1) решение задачи исключения тренда в эмпирических данных без потери существенной информации о процессе;
2) определение полного набора колебаний на основе алгоритмов, не связанных с их заданной структурой; ' 1
3) восстановление трендовой составляющей процесса; без априорного предположения о его функциональном виде.
Предмет исследования. Математические модели и методы анализа эмпирических данных. Методы исключения и восстановления тренда и определения параметров колебаний.
Объект исследования. Эмпирические данные с трендами и колебаниями, результаты измерения характеристик функционирования природных, физических, технических и экономических систем.
Цель исследования. На основе общих свойств эмпирических данных разработать модели, алгоритмы и программный комплекс исследования эмпирических данных с трендом.
Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:
1) Разработать модели и методы, гарантирующие исключение тренда без искажения информации об исследуемом процессе.
2) Разработать алгоритмы, не предъявляющих к исходным данным жесткой структуры колебаний, ориентированные на определение иерархии почти-периодов.
3) Разработать методы согласования алгоритмов исключения трендов и определения почти-периодов.
После логарифмирования получим
1п(Р) = 1п(- У‘+А1) = 0.

Характеристики эмпирического ряда, представленные этими безразмерными критериями, могут быть использованы в качестве индикаторов характеристик систем для исключения тренда, параметры которого учитываются величиной сдвига по аргументу А/ относительно состояния у
Преобразование эмпирических данных в координатах
]п(У‘~* + у>+*). 2 -У,
(2.5).

(2.6)
приводит к исключению из исходной зависимости трендовых участков. Притом соотношение (2.6) было получено в предыдущем параграфе в (2.4).
Рассмотрим еще некоторые классические пропорции и координаты для исключения тренда, которые получаются на их основе (таблица 1).
Таким образом, для исключения тренда возможно использование метрик, определенных соотношением теории пропорций.
Эффективность алгоритмов исключения трендов будем характеризовать близостью к нулю математического ожидания полученных в результате исключения тренда колебаний.
Для оценки эффективности представленных методов исключения тренда рассмотрим классические данные о динамике среднего числа пятен на