Численное моделирование стационарных плоских течений со свободными границами

• Автор: Эйалло, Корней Оксанс
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 108 с. : ил.

Введение
В настоящей диссертации рассматривается задача о численном моделировании плоского стационарного течения вязкой'несжимаемой жидкости с частично-свободной границей.
Математический анализ и расчет течений вязкой несжимаемой жидкости — один из важнейших разделов гидродинамики. Уже полтора столетия в качестве основной математической модели вязкого потока используется система уравнений Навье-Стокса. Вывод этих уравнений имеется в [1] и [2]. Начиная с 1950-х годов главные достижения в развитии. математической теории гидродинамики, как и вообще математической физики, основаны на применении идей и методов функционального анализа. Важные результаты исследований уравнений Навье-Стокса, полученные к 1970-м годам содержатся в монографиях [3] и [4].
Бурное развитие вычислительной техники в послевоенные годы сделало возможным компьютерную реализацию различных численных методов исследования задач гидродинамики. Обоснование этих методов, в основном, также проводится на языке функционального анализа. Наиболее разработаны к настоящему времени сеточные методы, метод конечных элементов и их комбинации. Подробное изложение этих методов имеется в монографиях [5], [6], [7], [12], [8], [9].
Важный класс задач гидродинамики — это задачи со свободными границами. Эти задачи характеризуются тем, что граница области, в которой ищется решение (или ее часть), неизвестна и ищется в процессе решения. Пример такого рода задач — задача о течении жидкости в канале с неизвестной границей раздела жидкость - атмосфера. Именно эта задача и составляет предмет настоящей диссертации. Задачи о

течениях со свободными границами привлекают внимание многих исследователей. С 2002г. институт гидродинамики РАН регулярно проводит научные конференции на тему "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения". На третьей конференции, которая состоялась в 2008г., были доложены предварительные результаты диссертационной работы.
Математическое исследование задач о течении вязкой несжимаемой жидкости было проведено, в частности, В.А. Солонниковым и В.В. Пухначевым. В работах [13], [14], [15], [18], [16], [17], [19] были доказаны теоремы о разрешимости соответствующих начально-краевых задач в пространствах Соболева и Гельдера, исследованы свойства решений. В этих работах предложен и обоснован метод последовательных приближений для получения решения задачи со свободной границей. Математическая теория, общей нестационарной задачи с неизвестной границей изложена в [10]. Численному исследованию задач со свободной границей посвящена монография [11].
Система уравнений Навье-Стокса описывает соотношения между вектором скорости у(х, £) = (у1,уо,уз) и давлением р(х, ;£) жидкости, заполняющей область Йс13.
Л— 3 О— ч

- уАу + + -Vр = /, X € О, t > 0, (1)

т ^ дхк р
с1гуг5 = 0, х €: П, I > 0, (2)
Здесь х = (жх, Х2, хз) —декартовы координаты точки, ^ — время, р — заданная постоянная плотность жидкости, V — кинематический коэффициент вязкости, константа, имеющая размерность /(ж, 1) — заданная вектор-функция, описывающая плотность внешних сил, действующих на жидкость. В дальнейшем мы будем считать, что р — 1. Искомыми являются вектор-функция г>(ж,£) и скалярная функция р(х, I). Система (1), (2) состоит из четырех скалярных уравнений относительно четырех скалярных функций щ, г>2, г>з, р. Уравнение (1) содержит нелинейное слагаемое

называемое конвективным членом. Наличие этого слагаемого обусловило существенные трудности как в теоретическом так и в численном анализе системы уравнений Навье-Стокса. Вопрос о глобальной по времени разрешимости системы уравнений Навье-Стокса остается до сих пор открытым, о чем подробно говорится в статье [21].
Наиболее полно исследована первая начально-краевая задача для системы (1), (2). В этой задаче вектор-функция у(х, / ) задана в области О в начальный момент времени £ = 0 и на границе области во все моменты времени. Именно этой задаче посвящены монографии [3] и [4], а также статьи [24], [25], [22], [23].
В задачах о движении жидкости со свободной границей вся граница области И или ее часть неизвестны. Обозначим через Г неизвестную часть границы. Г — двухмерная поверхность. На поверхности Г задается условие
Т(н,р)п|г = сгКп, (3)
где Т(и,р) — тензор напряжений с компонентами
Ті і — V

+ 7^7 ) - <%Р, г,3 = 1,2,3,
п — единичный вектор внешней нормали к поверхности Г, <т — коэффициент поверхностного натяжения, положительная константа, К — удвоенная средняя кривизна поверхности Г. Свертка тензора Т и вектора п понимается как умножение матрицы на вектор.

( 3 Е Т^п

Е т^щ

Условие (3) выведено в [19] и [20].
В задаче со свободной границей (1), (2), (3) искомыми являются три объекта: вектор-функция скорости V, скалярная функция давления р и поверхность Г. Важно заметить при этом, что занятая жидкостью область О, и ее граница Г зависят от времени. Разрешимость и свойства решений задачи (1), (2), (3) исследованы в работах [26], [27], [28].

Из определения скалярного произведения В (£і) следует, что функции из V(И) характеризуются условием
Jи(х) сіх — О
(1.59)
В пространстве V((1) можно ввести скалярное произведение, отличное ОТ (• , -)и/-1(П)- Именно, положим
Проверим выполнение аксиом скалярного произведения для [•,•]. Так же, как и в случае пространства М(П) из § 1.4 достаточно проверить, что из равенства [гг, и] = 0 следует, что и = 0. Выполнение остальных аксиом очевидно.
Итак, пусть [гг, гг] — 0. Тогда
Так как пространство У(П) не содержит констант, отличных от нуля, то и = 0.
Скалярное произведение [•, •] порождает норму в пространстве V(И)
Из неравенства Пуанкаре (1.57) и условия (1.59) следует, что нормы
—— = 0, А: = 1,2, ...гг, => и = соиві.

(1.60)