Применение в математическом моделировании сплайн-функций с минимальной нормой производной

• Автор: Ингтем, Женни Гастоновна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 121 с. : ил.

Оглавление
Введение
I Построение сплайна с минимальной производной
1.1 Построение квадратичного сплайна с минимальной нормой производной
1.2 Построение двумерного параболического сплайна с минимальной нормой производной
1.3 Построение кубического сплайна с минимальной производной .
1.4 Применение сплайна с минимальной нормой производной в задачах интерполяции
II Сплайн с минимальной нормой производной в задачах аппроксимации.
II. 1 Построение сплайн аппроксимационной функции с минимальной производной
11.2 Построение двумерной сплайн аппроксимационной функции с минимальной производной
11.3 Построение метода решения интегрального уравнения первого рода при помощи сплайна с минимальной нормой производной.
III Применение сплайн функции с минимальной нормой производной при математическом моделировании задач гравиразведки.
III. 1 Аппроксимация результатов математического моделирования в
двумерном случае
III.2 Аппроксимация результатов математического моделирования в
трехмерном случае

III.3 Использование сплайна с минимальной нормой производной в задачах аналитического продолжения гравитационного потенциала
Заключение
Литература
Введение
Методы математического моделирования в настоящее время во многом определяют эффективность решения задач науки и техники. Создание суперЭВМ с большими вычислительными ресурсами позволяет решать сложные нелинейные задачи. При математическом моделировании широко используются сплайн-функции. Настоящая диссертация рассматривает следующие области применения сплайн-функций:
1. Интерполяция данных, полученных при математическом моделировании, с целью аналитического задания расчетных характеристик в зависимости от параметров задачи.
2. Аппроксимация наблюденных данных для пересчета их на заданную сетку, используемую при математическом моделировании.
3. Использование сплайн функций при решении интегральных уравнений и аналитическом продолжении потенциала.
Полученные при математическом моделировании результаты на сетке значений параметров, не предоставляют достаточно условий для построения сплайна. Необходимо дополнительно задать краевые условия, которые позволяют построить сплайн. В качестве таких краевых условий выступают условия периодичности или же дополнительно задаются значения производных, чаще всего на границе. Например, в случае квадратичного сплайна задается значение первой производной в начальной точке, а в случае кубического сплайна необходимо задать два значения производной в соседних очках или

Положим у = ут. Строим одномерный сплайн в{х,у = ут) по х как было предложено в предыдущем параграфе.
На каждом таком уровне у = ут, т = 0,1,..., М имеем:
,5п,т(2'П) Ут) — /га ,
5га,т(жга+1) Ут) = /га+1,т ^2 3)

где /п,т заданные значения функции в узлах сетки, а р”т — значения частной производной одномерного сплайна S(x,y = ym) по х в точках хп, п = 0,1,..., N — 1.
Значения рг"п мы находим из условия непрерывности производной одномерного сплайна 3(х, угп):

n+l,m
х—ХП+1 У—Ут,
х=хп+1 У—Ут
то есть

га+1,т

/га+1,т /)
(2.4)
Как было показано ранее, значения всех р^т зависят от значения р°т, которое должно быть таким, чтобы достигался минимум нормы производной
. Аналогично §1.1 получаем следующее выражение для каждого

дх У=Ут £>
уровня ут:

J2 ( 1)П(/га+1,?га - /п,т) + 2 ^(-l)*^ Дга* " Л-1,т) ■

Таким образом, на каждом уровне у = ут мы находим значение р°,т, для которого реализуется минимум нормы производной сплайна этого уровня, то есть мы находим значение производной в начальной точке уровня у = ут ■ Далее по рекуррентной формуле (2.4) мы находим на этом уровне все остальные значения р"’т, и так для каждого т — 0,1,..., М.