Модели деформаций на фильтрованных пространствах: теория, алгоритмы, программный комплекс, применения

• Автор: Назарько, Ольга Валерьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 182 с. : ил.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ
1 ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО БАЗИСА И ДЕФОРМИРОВАННЫЕ МАРТИНГАЛЫ

1.1 Деформации и деформированные стохастические базисы

1.2 Структура операторов Щ

1.3 Деформированные мартингалы и их свойства

1.4 Меры <3^ и теорема о преобразовании свободного выбора для деформированных мартингалов

1.5 Эквивалентные и строго эквивалентные деформации. Мартин-гальные деформации

1.6 Заключение к главе

2 ПОСТРОЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ 1-ГО РОДА. МОДЕЛИ СЛАБЫХ ДЕФОРМАЦИЙ И АЛГОРИТМЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПРОГРАММ
2.1 Построение деформаций 1-го рода по процессу плотностей на дискретном фильтрованном пространстве
2.2 Построение слабых деформаций в случае специальной хааров-ской фильтрации
2.3 Рекуррентный метод построения слабых деформаций по процессу плотностей в случае специальной хааровской фильтрации
2.4 Алгоритмы вычисления деформаций в случае специальной хааровской фильтрации
2.5 Моделирование слабых деформаций в случае фильтрации, порожденной бинарным деревом
2.6 Алгоритмы вычисления деформаций в случае бинарной фильтрации и применение к финансовой математике
2.7 Заключение к главе
3 МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТЫ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА
3.1 Основные положения
3.2 Архитектура программного комплекса
3.3 Расчеты с помощью программного комплекса: применение слабых деформаций
3.4 Расчеты с помощью программного комплекса: применение сильных деформаций 1-го рода

3.5 Заключение к главе
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И АББРЕВИАТУР
с.в. — случайная величина; п.н. — почти наверное; п.в. — почти всюду; м.о. — момент остановки;
SB — стохастический базис (stochastic basis);
D1 — деформация 1-го рода (deformation of the 1-st kind);
D2 — деформация 2-го рода (deformation of the 2-nd kind);
BD1 — ограниченная деформация 1-го рода (bounded deformation of the 1-st kind);
BD2 — ограниченная деформация 2-го рода (bounded deformation of the 2-nd kind);
UBDl — равномерно ограниченная деформация 1-го рода (uniformly bounded deformation of the 1-st kind);
UBD2 — равномерно ограниченная деформация 2-го рода (uniformly bounded deformation of the 2-nd kind);
SD1 — сильная деформация 1-го рода (strong deformation of the 1-st kind); SD2 — сильная деформация 2-го рода (strong deformation of the 2-nd kind); WD — слабая деформация (weak deformation);
PM — вероятностная мера (probability measure);
CSPM — согласованная последовательность вероятностных мер (consistent sequence of probability measures);
MRCSPM —мартингал относительно согласованного семейства вероятностных мер (martingale with respect to consistent sequence of probability measures); DSB — деформированный стохастический базис (deformed stochastic basis); DSBl — деформированный стохастический базис 1-го рода (deformed stochastic basis of the 1-st kind);
DSB2 — деформированный стохастический базис 2-го рода (deformed stochastic basis of the 2-nd kind);
SDSB1 — сильно деформированный стохастический базис 1-го рода (strongly deformed stochastic basis of the 1-st kind);
SDSB2— сильно деформированный стохастический базис 2-го рода (strongly deformed stochastic basis of the 2-nd kind);
WDSB — слабо деформированный стохастический базис (weakly deformed stochastic basis);
DM — деформированный мартингал (deformed martingale);
DM1 — деформированный мартингал 1-го рода (deformed martingale of the
1-st kind);
DM2 — деформированный мартингал 2-го рода (deformed martingale of the
2-nd kind);
Глава

Для /к < п введем в рассмотрение оператор Ек, действующий по формуле:
Щ/ := Е%+1ЕккХ1... Е^_Д (22)
(/ДО <3(п)-п.н. либо / 6 1ч(!Г2, Д, <9^), п € М).
Предложение 1.6. 1) Если О, есть £>5, то
Епк: Ьоо(П, д,, <ЭЫ) -» дс: д(*>)
и этот оператор — ограниченный линейный оператор с нормой 1.
2) Если есть 1Ш;§, то
Е1: д,(п, д,, дОО) _ хр(0, д<*>)
и этот оператор является ограниченным линейным оператором (1 < р < оо).
Доказательство. Доказательство очевидным образом следует из предложения 1.5. □
Обозначим через // оператор вложения множества ^-измеримых с.в. в множество ^„-измеримых с.в. (к < та).
Предложение 1.7. 1) Если есть 1)1 , то
I£ : Ь^П, Дк, д<*>) -> ДДП, Еп, <$*))
и этот оператор — ограниченный линейный оператор с нормой 1.
2) Если (3 есть ВВ1, то
II : ЬДД Ек, £<*>) -» Д(П, Еп, 0)
и этот оператор является ограниченным линейным оператором (1 < р < оо).
Доказательство. 1) Если / е ДДП, Дь <5^), то, принимая во внимание соотношение Я^гк << Я^° получаем
Н/Нд*,^,,,^")) = 11/11£оо(£1Л,0МЮ ^ 11/11а*.(ПЛ,«<*>)> что и требовалось доказать.
2) Пусть / € £оо(^, Дк, Я^)- Применим формулу: сК))(пЦугк = Ик(1С}(к где очевидно, что кк < с„_1Сп_2 ... ск д^-п.н. Имеем:
11/1и1(плЛ(-)) - ^(П)(1/1) = Е^Д/) = ^’(1/1^) <
Сп-1С„-2 • • • Ск • ||/НьоДпл,д(Ч)-Ограниченность при 1 < р < оо получаем из интерполяционной теоремы Рисса-Торина. □