Стабилизация периодических систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами

• Автор: Кошкин, Евгений Вячеславович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 120 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ АРГУМЕНТАМИ
1.1. Задача стабилизации линейных периодических систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами

1.2. Численные методы решения дискретного уравнения Риккати

1.2.1. Метод Ньютона

1.2.2. Метод приведения к устойчивой форме Шура

1.3. Метод продолжения по параметру

1.4. Метод факторизации характеристического уравнения в случае скалярного управления
1.5. Стабилизация решений нелинейных дифференциальных уравнений с кусочнопостоянными аргументами
1.6. Стабилизация положений равновесия популяционных моделей
ГЛАВА 2. СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
1. Линейная периодическая конечномерная система дифференциальных уравнений
с последействием
2. Общее решение системы дифференциальных уравнений с последействием
3. Сведение к задаче оптимальной стабилизации дискретной системы
4. Расширение множества допустимых управлений
ГЛАВА 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ В ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
1. Конечномерные аппроксимации периодических дифференциальных уравнений с последействием
2. Счетная система неоднородных дифференциальных уравнений в функциональном пространстве
3. Построение стабилизирующих управлений в случае аппроксимирующих операторов

4. Задача стабилизации скалярного периодического дифференциального уравнения
с сосредоточенным запаздыванием
ГЛАВА 4. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС PCASTAB ДЛЯ WOLFRAM MATHEMATICA 8.
1. Назначение, базовые принципы организации работы и состав программного комплекса
2. Использование программного комплекса средствами интерфейса взаимодействия
с пользователем
3. Использование программного комплекса средствами консоли пакета Wolfram
Mathematica 8.
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы и степень ее разработанности. Интерес к дифференциальным уравнениям с кусочно-постоянными аргументами обусловливается большим числом задач математического моделирования, возникающих в различных областях естествознания, а также при решении технических задач. Дифференциальные уравнения с кусочно-постоянными аргументами удобно использовать при математическом описании систем автоматического регулирования, которые содержат непрерывные подсистемы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, и импульсные подсистемы, описываемые разностными уравнениями [9,10,47,54,109]. Рассматриваемые уравнения используются при описании математических моделей популяционной динамики [12,15,19,21,22,25,28,29,32,33]. Имеются математические модели, описывающие функционирование экономических систем [102,103].
Изучаемые в настоящей работе уравнения принадлежат классу функциональнодифференциальных уравнений, основные положения теории которых изложены в монографиях Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллнной [36], Р. Веллмана н K.JI. Кука [45], В.Б. Колмановского и В.Р. Носова [72], H.H. Красовского [88] А.Д. Мыш-киса [97], Дж. Хейла [108], Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкнна [113].
Развитию качественной теории дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами посвящены работы M.U. Akmet и C. Biiyükadli [2], A. Cabada и J.B. Fcrrciro [4], K.L. Cooke, I. Gyori, J. Turi, G. Turner, J. Wiener [5,8-10,16], G. Seifert [27], Wang Li, Yuan Rong и Zhang Cliuan Yi [30], A. Alonso, J. Hong и J. Rojo [3], S. George [13], Y. Rong [26], M. Yoshiaki [33]. Задачи устойчивости решений дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами изучались в работах M.U. Akmet, D. Arugaslan,
E. Yilmaz [1] K.L. Cooke и J.M. Ferreira [6,7], K. Golpalsamy и P. Liu [15,22], R.M. May [25].
В работах H.H. Красовского, посвященных проблеме аналитического конструирования оптимальных регуляторов для систем дифференциальных уравнении с запаздыванием, показано, что при ее решении удобно использовать функциональное пространство состояний [89-91]. H.H. Красовскнй определил достаточные условия существования оптимального стабилизирующего управления. Ю.С. Осипов установил их связь с вполне управляемостью специальной конечномерной системой [92,98].
Задача нахождения оптимального стабилизирующего управления для общего класса систем дифференциальных уравнений с последействием и общего множества допустимых управлений является достаточно сложной [7,42,55,89,114]. Поэтому развивались приближенные методы решения этой задачи. В работах Дж. Xeiuia [108], С.Н. Шимано-ва [111,112], H.H. Красовского [90], М.C. Delfour [11] предложены схемы аппроксимации
М<*-»> = Т11 к_1ЬгМ, где матрица Л4^к ^ имеет вид
'ИМИ Л12 Діз Яцк-1) Пік Яш ^
0 ІК1І і?23 Н2(к-1) ЇЇ-2 к Язм
0 0 Iа4”! ••• Яз(к-) Я3к ■ Яз м
м{к~1) = 0 0 0 .м'к~2) Я(к-1)к ■ ■ Я(к-)М , (1.2.14)
0 0 0 0 МГ1} . ■ ткМ
1 0 0 0 0 0 Ь (ж») ■ ^мм /
Здесь — единичная матрица размера (г - 1) х (г - 1), Ь (ж»' — матрица отражения
размера (М - і +1) х (М-І + 1), построенная по вектору
х« = М~ I м\ (М—і+1) е
|.мГ> - м(Г1}\ (М-І+1)
где е = (10 ... 0) Є IIі, г = 1, м.
Обозначим М[к ^ = (^М[кк ^ М{'мк)') е Н-М А+1 — первый столбец матрицы
М% 1'1) • Согласно лемме 1.1 существует матрица отражения
V 4 / ъЛ=к,...уМ
м?~1) - \мГ1) І Лм-к+і)
- ||ліГ>| I (М-Ь+1)|| &1 і
ь (х(к)) =1- 2х^к)х^к)Т, = ±77-------------1---------------------77 Є И

такая, что Ь (а+)) М[А ^ = Ц-М^ 1^|| е[м к+1 Положим
Ьк = Лп) ■ (1-2'15)
У О I (хЮ))
Покажем, что матрица Ьк является унитарной, т.е. Ьк = Ьк1. В силу унитарности матрицы отражения Ь (ж^) имеем