Операторные методы численного исследования задач о бифуркациях в моделях популяционной динамики

• Автор: Вышинский, Александр Алексеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 118 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Модели популяционной динамики

1.1 Динамические системы и их бифуркации: вводные понятия

1.2 Классические модели популяционной динамики

1.3 Системы популяционной динамики

1.4 Бифуркации одномерных динамических систем

1.5 Бифуркации в двумерных системах

2 Операторный метод исследования задач о многопараметрических бифуркациях

2.1 Бифуркации операторных уравнений

2.2 Однопараметрические бифуркации

2.3 Двупараметрические задачи
2.4 Многопараметрические задачи
3 Численное исследование задач о бифуркации динамических систем
3.1 Основные сценарии локальных бифуркаций
3.2 Бифуркации состояний равновесия
3.3 Задача о бифуркации Андронова-Хопфа

3.4 Бифуркации Неймарка-Саккера
3.5 Модели со слабоосциллирующими параметрами
3.6 Компьютерное моделирование бифуркаций динамических
систем
4 Программный комплекс
4.1 Разработка программного комплекса: специфика и основные проблемы
4.2 Описание программ
4.3 Иллюстративный пример
4.4 Тексты программ
Заключение
Литература

Введение
Актуальность работы. Работа посвящена вопросам качественного и численного исследования математических моделей популяционной динамики — широкого класса моделей, возникающих при изучении динамики биологических популяций, экологических систем, моделей конкуренции в экономике и др. Интерес специалистов к исследованию таких моделей связан не только с важными приложениями, но и с несомненным теоретическим значением этих исследований. Существенный вклад в разработку соответствующих моделей и методов их исследования внесли Ю.М. Апонин [6], А.Д. Базыкин [б, 7, 65], A.C. Братусь [11-13], В. Вольтерра [15, 48, 79] , Г.Ф. Гаузе [б, 11 79], А.Н. Колмогоров [27], А. Лотка [6, 11], Дж. Марри [47], Ю. Одум [6], Г. Остер [11], В.Н Разжевай-кин [57], Г.Ю. Ризниченко [6, 11], К.Е. Уатт [6], И.Л. Хабибуллин [66], А.И. Хибник [6, 7, 65], J.-M. Ginoux [79], Т. Moser [66] и др.
Дифференциальные уравнения математических моделей популяционной динамики имеют специфические свойства фазовых портретов; они, как правило, зависят от многих параметров, имеют особенности качественных перестроек и др. Эти обстоятельства затрудняют разработку общих методов исследования таких уравнений. Известные приближенные схемы исследования интересующих режимов функционирования системы и компьютерное моделирование проводятся, как правило, на основе прямого численного расчета, что снижает эффективность предлагаемых методов исследования.
Одной из наиболее интересных и в то же время важной с теоретической и практической точек зрения является задача о локальных бифуркациях в системах, описываемых дифференциальными уравнениями моделей популяционной динамики. Такие бифуркации могут сопровож-
Приведем теперь достаточный признак бифуркации.
Утверждение 1.4.4. Пусть выполнены условия дх(х*(ро), До) — 0 и fllx/iOc*(//o)i Р’о) Ф 0- ТЬго до ~~ точка бифуркации состояний равновесия системы (1.18).
Действительно, если переписать достаточный признак бифуркации состояний равновесия системы (1.2) (см. утверждение 1.1.2) для системы вида (1.18) получим доказательство утверждения 1.4.4.
Пример 1.4.3. Рассмотрим систему
Для неподвижной точки х* = р (р > 0) имеем дх(х*(р), р) — д3 — р2 . Необходимый признак бифуркации выполнен, если до = 1. Достаточное условие также выполнено: дх (ж*(до),До) = 10. Поэтому значение до = 1 является точкой бифуркации состояний равновесия системы (1.19), т.е. при переходе параметра р через значение До = 1 у системы (1.19) помимо точки х* возникают новые состояния равновесия.
1.5 Бифуркации в двумерных системах
Рассмотрим теперь двумерную систему
х1 = х(р — х2)(р — ж).
(1.19)
х[ = xxgi(x,p), = х2д2{х,р).
(1.20)