Применение представлений Альманси в численном исследовании математических моделей, описываемых гармоническим и бигармоническим уравнениями

• Автор: Антропова, Наталия Александровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 141 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Представления Альманси аналитических функций
1.1 Ортонормированная система гармонических полиномов
1.2 Представления полигармонических функций
1.3 Представления аналитических функций
1.4 Представления типа Альманси для некоторых невырожденных операторов второго порядка
1.4.1 Нормированные системы функций для оператора Ад
1.4.2 Разложение тина Альманси для оператора Ад
1.4.3 Пример
2 Построение полиномиальных решений полигармоническо-го уравнения и уравнения Гельмгольца
2.1 Полиномиальные решения уравнения Пуассона
2.2 Полиномиальные решения полигармонического уравнения .
2.3 Построение решений уравнения Гельмгольца
2.4 Численно-аналитические решения полигармонического уравнения
3 Полиномиальные решения некоторых модельных задач
3.1 Исследование моделей, приводящихся к задаче Дирихле для
уравнения Пуассона
3.1.1 Построение полиномиальных решений однородных задач Дирихле для уравнения Пуассона
3.1.2 Построение полиномиальных решений неоднородных задач Дирихле для уравнения Лапласа

3.1.3 Новая модель потенциала заряженной сферы, описываемая обобщенной третьей краевой задачей
3.1.4 Построение полиномиальных решений третьей краевой задачи
3.2 Исследование моделей, приводящихся к задаче Дирихле для
бигармоиичсского уравнения
3.2.1 Построение решения однородной задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения
3.2.2 Построение решения неоднородной задачи Дирихле для однородного бигармонического уравнения
3.2.3 Построение решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения
4 Программный комплекс для решения задачи Дирихле для
гармонического и бигармонического уравнений
4.1 Структура программного комплекса
4.2 Программа отыскания решения задачи Дирихле для гармонического уравнения в шаре
4.3 Программа отыскания решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре
4.4 Вычислительный эксперимент: численно-аналитические решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений
Заключение
Литература

Введение
Актуальность темы. Уравнение Лапласа или гармоническое уравнение было рассмотрено П. Лапласом в 1782 году, в связи с его исследованиями по теории тяготения. Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и техники; ему удовлетворяют, например распределение температур в стационарном процессе, электрический потенциал и т.д. Различные математические модели теории упругости приводят к необходимости изучения бигармонических функций. Одной из важнейших задач для бигармонического и полигармонического уравнений является задача Дирихле. Эту задачу изучали С.Л. Соболев [35], И.Н. Векуа [10], С.М. Никольский [31], М. Николеску [58, 59] и др. Для приближенного решения различных краевых задач для полигармонического уравнения целесообразно использовать методы ортогональных проекций, Трефца, наименьших квадратов и др. Обоснование этих вычислительных методов можно найти в монографии С.Г. Михлина [29]. Для устойчивости вычислительного процесса в этих методах к координатным функциям предъявляются некоторые дополнительные требования. В качестве координатных функций в этих методах очень удобно использовать по-лигармоническис полиномы. Как известно в случае двух переменных число гармонических полиномов не зависит от их степени и равно двум. Начиная с размерности три число линейно независимых однородных гармонических полиномов растет с их степенью, что затрудняет их построение. В качестве гармонических полиномов от трех переменных используются известные шаровые функции

Лемма 1.3.2. Пусть функция /(ж) аналитическая в некоторой звездной области V, тогда ряд
|2я /■! (л /тЛз—1«
F(x- /) = f(x) + I ^ (Г-1)Г ^ 1А',/(аж) da’
(1.28)
равномерно сходится по х в некоторой звездной подобласти V С V и возможно дифференцирование под знаком суммы.
Доказательство. Воспользуемся леммой 1.3.1 в частном случае L(D) = А* и = 0. Легко видеть, что в этом случае L(Dt,..., Dt) = L(Dt, ■ ■ ■, А) nsD2s, а поэтому, существуют такие положительные С и е, что для |ж| < е
Asf{x) где как и выше сp(t) = Cs/{£—t). Отсюда, учитывая что а € [0,1], получим
|Дв/(®®)| < nsD2sp{t)(t=aW.
Применяя полученное неравенство в формуле (1.28), найдем
F(x;f)| < 2^(2s)!!(2s-2)!!j0 (2s - 1)! г V 1 и
Для интегрального члена, при п > 2 и [ж| < е имеем оценку
jf‘(1 <
nsx2s~x

Отсюда находим
№. /)1 < *М> + # | й
(1.30)
S=1 '