Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах с учетом коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа

• Автор: Лукашев, Вячеслав Валерьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Архангельск
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Общая постановка задачи математического моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах

1.1. Выбор основного уравнения, модели граничных условий и метода решения задачи

1.2. Описание потоков разреженного газа в каналах

1.3. Построение модели процесса

1.4. Основные результаты, полученные в первой главе

Глава 2. Математическое моделирование процессов тепло- и массо-иереноса в каналах

2.1. Задача о течении Пуазейля

2.2. Задача о течении Куэтта

2.3. Задача о тепловом крипе

2.4. Основные результаты, полученные во второй главе
Глава 3. Анализ предельных режимов
3.1. Режим близкий к гидродинамическому
3.2. Случай почти зеркальных граничных условий
3.3. Свободно-молекулярный режим
3.4. Основные результаты, полученные в третьей главе
Глава 4. Программный комплекс для расчета макропараметров газа.
4.1. Алгоритм расчета
4.2. Программный комплекс
4.3. Основные результаты, полученные в четвертой главе
Заключение
Список литературы

Введение
В последние десятилетия все большее внимание привлекают к себе задачи, связанные с построением математических моделей процессов тепло-и массопереноса, протекающих в каналах, расстояние между стенками которых соизмеримо со средней длиной свободного пробега молекул газа. В этом случае для описания потоков массы газа и тепла уравнения классической гидродинамики неприменимы и для решения поставленных задач необходимо исходить из кинетического уравнения Больцмана с микроскопическими граничными условиями, которым должна удовлетворять функция распределения на стенках канала [1]-[12]. Для расчета макропарамст-ров газа в канале в рамках кинетического подхода в общем случае используют методы прямого численного моделирования, основанные на том, что уравнение Больцмана решается конечно-разностным методом на фиксированной сетке в пространстве скоростей и координат, а искомые макропараметры газа находятся путем численного нахождения значений моментов от функции распределения. Однако при таком подходе требуется наличие мощных вычислительных ресурсов, как в плане оперативной памяти, так и в плане процессорного времени [13]. В силу этого актуальным является развитие и применение к моделированию процессов тепло- и массопереноса в каналах аналитических методов.
Аналитические решения задач тепло- и массопереноса в каналах в рамках кинетического подхода к настоящему времени решены в [14]-[16] с использованием почти зеркальных граничных условий и в [17]-[20] для случая диффузного отражения молекул газа стенками канала. Модель почти зеркального отражения молекул газа стенками канала мало реализуема на практике. В то же время, как показано в [1], например, для легких газов, таких, как гелий и неон, коэффициент аккомодации тангенциального импульса может существенно отличаться от единицы. Кроме того на значение коэффициента аккомодации тангенциального импульса также существенное влияние оказывает степень обработки поверхности стенок канала:

для загрязненной поверхности коэффициент аккомодации тангенциального импульса больше, чем в случае специально обработанной, например, путем химической очистки, поверхности. Таким образом, цель представленного диссертационного исследования состояла разработке и применении аналитических методов, численных процедур и комплексов программ для решения задач, связанных с математическим моделированием процессов тепло- и массопереноса в каналах, приводящих к корректным результатам при произвольных значениях коэффициента аккомодации тангенциального импульса и расстояния между стенками канала
Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:
1. Построение на основе БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модели кинетического уравнения Больцмана с использованием зеркально-диффузного граничного условия Максвелла математических моделей процессов тепло-и массопереноса в задачах о течениях Пуазейля, Куэтта и теплового крипа, обобщающих существующие ранее результаты.
2. Проведение анализа построенных математических моделей при переходе к гидродинамическому и свободномолекулярному режимам течения.
3. Разработка алгоритма для расчета на основе построенных моделей макропараметров газа в канале.
4. Создание программного комплекса, позволяющего рассчитать значения макропараметров газа при различных значениях толщины канала и коэффициента аккомодации тангенциального импульса молекул газа стенками канала.
5. Проведение на основе представленного программного комплекса расчетов макропараметров газа и сравнение полученных результатов с аналогичными, имеющимися в открытой печати.
Объект исследования - поток разреженного газа в канале. При построении моделей предполагается, что стенки канала образованы двумя параллельными бесконечными плоскими поверхностями, а относительные изменения макропараметров газа на длине свободного пробега молекул газа малы, что позволяет рассмотреть поставленные задачи в линеаризовнном виде. В качестве основного уравнения, описывающего кинетику процесса, в работе используется линеаризованная БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук) модель кинетического уравнения Больцмана, а в качестве граничного условия на стенках канала - модель зеркально-диффузного отражения.

Обозначим
b{rj,x) = exp a(^)-
Тогда, с учетом (2.2.5) уравнения (2.2.9) и (2.2.10) запишем в виде
+00 +ОС
1 Г nbMd (1_ } 1 Г +
л/тг J 77 - р V? J 1] + /х
— ОС —ОС
+ ехР(/|2)Ь(/Ц d)X(n) - (1 - O') ехр(/ч2)6(—/ч, d)A(p) =
— q{^2U — у4[) — ^4i/i — + 2.Aiyi, /i +00 +
1 г чНги-^ i r vW V-H r? + /i
— ОС —
+ exp(/i2)6(ju,-d)A(jLi) - (1 - g)exp(p2)6(-/x,-d)A(/i) ■=
— ^f(yljd — t40 — Hj/x — 2f7) + 2+li/i, [i > 0.

Тэт / dr] + exP(/i2)5(A0 d) W =

= g(2tf - л0 - Ai/i - Hid) + 2Л1/Д ^ < 0, (2.2.11)

4= f ~B—1 — dr? + ехр(/х2)Д(д, -d)X(n) -
Л/7Г J Г]- Ц

= (/'(^ld — y4o — Hi/x — 2?У) + 2И.1/.Д ц !> 0. (2.2.12)
Здесь
В(/х, d) = Ь(д, d) - (1 - g)&(-/x, d). (2.2.13)
Заменив в (2.2.11) /х на —/х и учитывая, что на действительной оси A(z) является четной функцией, перепишем его в следующем виде

_L J dri + ехр(/х2)Д(-/х, d)A(/x) =

= д(2£/ - Ло + Лі/t - Hjd) - 2Л1/Н, /х > 0. (2.2.14)