Жесткие и плохо обусловленные нелинейные модели и методы их расчета

• Автор: Пошивайло, Илья Павлович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Оптимальные обратные схемы Рунге-Кутты

1.1 Схемы Рунге-Кутты

1.1.1 Явные схемы

1.1.2 О схемах высших порядков

1.1.3 Обратные схемы

1.1.4 Моно-неявные схемы Рунге-Кутты

1.1.5 Неоптимальные обратные схемы

1.1.6 Устойчивость

1.1.7 Интерполяционность
1.2 Алгоритм
1.2.1 Простые итерации
1.2.2 Метод Ньютона
1.2.3 Усечение
1.2.4 Первая итерация
1.3 Дифференциально-алгебраические системы
1.3.1 Сходимость
1.3.2 Уменьшение трудоемкости алгоритма
2 Оценка погрешности решения в задачах с пограничными слоями
2.1 Метод Ричардсона для жестких задач
2.1.1 Стандартная процедура
2.1.2 Особенности жестких задач
2.1.3 Разрешение пограничного слоя
2.2 Метод перехода к длине дуги
2.2.1 Уравнения
2.2.2 Сохранение балансов в задачах химической кинетики
3 Модификации метода Ньютона
3.1 Область сходимости
3.1.1 Классический метод Ньютона
3.1.2 Непрерывный аналог метода Ньютона
3.1.3 Дифференциальный аналог метода Ньютона
3.1.4 Сходимость конечношаговых итерационных методов

3.1.5 Выводы
3.2 Уравнения с кратными корнями
3.2.1 Определение кратности корня
3.2.2 Ускорение сходимости ньютоновских итераций
4 Расчеты моделей прикладных задач
4.1 Бегущая тепловая волна
4.1.1 Аппроксимация коэффициента теплопроводности
4.1.2 Разностные схемы
4.1.3 Сходимость к точному решению
4.1.4 Реализация итерационного процесса
4.1.5 Усеченные ньютоновские итерации
4.1.6 Разрывные начальные данные
4.2 Дифференциально-алгебраические системы
4.2.1 Тестовая задача
4.2.2 Транзисторный усилитель
4.3 Уравнение ван дер Пола
4.3.1 Разностные схемы
4.3.2 Сравнение схем
4.3.3 Влияние жесткости
4.4 Сверхжесткость
4.5 Химическая кинетика
4.5.1 Постановка задачи
4.5.2 Требования к разностным схемам
4.5.3 Результаты расчетов
4.6 Выводы
5 Комплекс программ СЕАВСЖК
5.1 Численные методы решения систем ОДУ
5.1.1 Явные методы Рунге-Кутты
5.1.2 Методы Розснброка
5.1.3 Обратные и полностью неявные методы Рунге-Кутты
5.2 Подпрограммы для интегрирования на серии сгущающихся сеток
5.2.1 Интегрирование по аргументу “время”
5.2.2 Интегрирование по аргументу “длина дуги”
5.3 Вспомогательные подпрограммы
5.3.1 Разностное вычисление матрицы Якоби
5.3.2 Метод Ньютона для решения нелинейных систем
5.3.3 Определение погрешности
Заключение
Список иллюстраций

Список таблиц
Литература

Вновь подставляя /(х) в уравнение (3.6), получим:
(:х2 + а2) = (х2 + а2)е-1, ж(0 = ((хо + “2)е-< — а2)1^2 .
Дифференциальное решение из вещественного начального приближения ,г0 спускается до минимума в точке х = 0 за конечное время < = 1п (1 + Хц/а2). Минимум в этом процессе является точкой бифуркации (см. рис. 3.2): в ней траектория спуска расщепляется на две траектории в комплексной плоскости, которые при I —> оо приводят к мнимым корням ±га. Но итерационный процесс при вещественном начальном приближении не может уйти в комплексную плоскость. Он будет требовать все более мелкий шаг г и никогда не дойдет до минимума. Если же ограничить г снизу, счет разболтается.
Рис. 3.2: Траектория спуска к комплексному корню дифференциального аналога метода Ньютона для уравнения /(х) = х2 + а2 = 0.
Таким образом, данный метод может не давать сходимости к корню из произвольного начального приближения, а вместо этого “застрянет” в локальном минимуме.
3.1.4. Сходимость конечношаговых итерационных методов.
В работах [52-54] предлагается также использовать гибридные подходы: при помощи более грубого метода (например, метод деления пополам или золотого сечения) находить малую окрестность корня, и затем с помощью более быстро сходящихся итераций (например, ньютоновских) находить значение корня с заданной точностью. Несмотря на то, что гибридные и обобщенные алгоритмы помогают расширить область сходимости классического метода Ньютона, глобальной сходимости к корню уравнения из произвольного начального приближения достичь, по-видимому, не удастся. Сформулируем это предположение в виде следующей теоремы.