Расчет оптимальных режимов для некоторых нелинейных процессов в гидродинамике и микроэлектронике

• Автор: Романенков, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 102 с. : ил.

Содержание.
Введение

Глава 1. Оптимальное управление движением жидкости со свободной поверхностью.

1.1. Постановка задачи

1.2. Аналитическое решение и расчеты

1.3. Задача оптимального управления

1.4. Численный эксперимент, результаты и расчеты

Глава 2. Моделирование и оптимизация технологического процесса ионно-лучевого травления.

2.1. Физическая постановка задачи

2.2. Математическая модель задачи

2.3. Принцип максимума Л. С. Понтрягина

2.4. Численный метод. Устойчивость разностной схемы
2.5. Результаты расчетов
Заключение
Приложение.
1. Утилита «Фурьер»
2. Программный комплекс «Гашение»
3. Программный комплекс для моделирования
и оптимизации процесса ионно-лучевого травления
Библиография

Введение.
Диссертационная работа посвящена разработке численных методов оптимального управления в задачах, связанных с гашением колебаний жидкости со свободной поверхностью, а также минимизации ухода геометрических размеров вытравливаемых элементов в технологическом процессе ионно-лучевого травления
В работе рассматриваются две нелинейные задачи оптимального управления. Первая задача посвящена гашению колебаний слабо возмущённой свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Необходимость гашения колебаний жидкости возникает во многих задачах, связанных с движением космических аппаратов, перевозками жидкого топлива и др.
В этой задаче, рассматривается объемное безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в сосуде кубической формы. Так как течение жидкости безвихревое, то для определения поля скоростей возникает уравнение Лапласа [2, 17-21]. Область, в которой справедливо уравнение Лапласа является нестационарной: по бокам и снизу жидкость ограничена стенками сосуда, а сверху свободной поверхностью жидкости, которая меняет свою форму с течением времени. Таким образом, возникает задача с неизвестной границей и задача оптимального управления с фиксированным временем и терминальным функционалом.
Вторая задача посвящена построению оптимального управления процессом ионно-лучевого травления, который является одним из этапов изготовления интегральных схем субмикронных размеров. Рассматриваемый процесс описывается существенно нелинейным гиперболическим уравнением [35]. В этом процессе в силу нелинейной зависимости скорости травления от угла падения ионного луча возникает эффект вырождения защитной маски в клин с углом полу раствора, соответствующим
максимальной скорости распыления, что приводит к нежелательному уходу геометрических размеров вытравливаемых элементов. Одним из способов борьбы с этим эффектом является изменение угла падения ионного луча во времени. Стоит отметить, что данная задача рассматривалась в работах [49, 50]. Однако в этих работах не был определен оптимальный режим процесса, позволяющий получать формы стравливаемой поверхности, близкие к желаемым. Кроме того, вопросы, связанные с математическим моделированием и оптимизации рассматривались в работах [14, 16, 45, 46, 50,51,52].
На данный момент написано очень работ посвященных оптимальному управлению и они посвящены самым разным классам задач: динамике движения тела с полостью [8-11, 38-44]; управление процессами
микроэлектроники [48-51], [67]; математическим основаниям оптимального управления [71-74], [76-81], [82], [85], [90-93]
Актуальность работы. В диссертационной работе основное внимание сосредоточено на построении численных методов расчета оптимального уравнения, которые основаны на применении принципа максимума Л.С. Понтрягина [53]. Стоит отметить, что методы построения оптимальных режимов в значительной степени развиты для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [25-28, 30, 63]. Для процессов, которые описываются уравнениями в частных производных, возникают значительные трудности при поиске оптимального управления. Только для некоторого класса задач можно установить принцип максимума. Основные результаты в теории оптимального управления принадлежат Л. С. Понтрягину, Н. Н. Моисееву, В. Г. Болтянскому, Р. В. Гамкрелидзе.
Цель работы. Цель диссертации - разработка численных методов расчета оптимального управления для некоторых нелинейных трехмерных уравнений в частных производных, которые представляют собой

Эту функцию с достаточно большой степенью точности можно аппроксимировать следующей формулой /(0) = cos 0(1 + a sin2 0).
Рассмотрим вектор QM = {хг — х, (рг — ср]и приращение функции, воспользуемся теоремой о конечных приращениях:
(рг — ср = <р(х1( t + At) — <р(х, t)
= (рх{х, t)(xx -х) + + о (VCci - х)2 + (At)2) (2.3)
На основании физического закона травления можно заметить, что вектор QM можно определить по следующей формуле:

QM = — /(0)AtriQ = —At И так, имеем xt — х = At

Jl+cp%(x,t) срх — (р = —At
д/1 + (pKx.t) <рх(х, t)

{-<рх(х, t),0,l}
V1 + <Рх(.Х, О
Подставим соотношения (2.4) в формулу (2.3):
(2.4)