Разработка алгоритмов решения одного класса контактных задач

• Автор: Петухова, Маргарита Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 119 с. : ил.

Оглавление

Введение

Глава 1. Постановка задачи и исследование ее разрешимости

1.1 Задача Синьорини: основные уравнения и граничные условия

1.2 Вариационная формулировка и разрешимость задачи Синьорини

1.3 Контактная задача для нескольких тел

1.4 Вариационная постановка задачи контакта нескольких тел

Глава 2. Методика решения контактных задач

2.1 Дискретизация задачи Синьорини

2.2 Обзор алгоритмов решения

2.2.1 Алгоритмы по определению зоны контакта
2.2.2 Алгоритмы для решения вариационных неравенств
2.3 Особенности решаемой задачи
2.4 Метод решения контактных задач, основанный на уменьшении размерности задачи
2.4.1 Этап подготовки данных
2.4.2 Переход к задаче квадратичного программирования
2.4.3 Вычисление нормальных перемещений в зоне контакта
2.4.4 Задача о взаимодействии нескольких деформируемых тел
2.5 Решение задачи квадратичного программирования
2.5.1 Обзор методов минимизации квадратичного функционала
2.5.2 Описание двойственного алгоритма активного набора
2.5.3 Адаптация алгоритма к особенностям задачи
2.5.4 Сравнение производительности исходного и адаптированного алгоритма Г-И-П
2.6 Восстановление информации о решении
Глава 3. Верификация разработанной методики на примере задачи Герца
3.1. Аналитическое решение
3.1.1. Постановка задачи
3.1.2. Решение задачи Герца для шаров
3.1.3. Тестовая задача
3.2. Численное решение
3.2.1 Подготовка расчетной модели
3.2.2 Особенности построения расчетной модели по разработанной методике
3.3 Результаты
Глава 4. Верификация методики с помощью физического эксперимента и расчетного комплекса ANSYS Mechanical
4.1 Расчетная модель
4.2 Сравнение результатов
Заключение
Список основных обозначений
Список литературы

Введение
Актуальность исследования
Одной из актуальных проблем в области прикладной математики является создание эффективных методов решения задач механики контактных взаимодействий тел. Даже при наличии современной высокопроизводительной вычислительной техники решение контактных задач в общем случае требует значительных затрат как аппаратных ресурсов (процессорного времени и памяти), так и человеческих (рабочее время инженерно-технического персонала и т.п.). Поэтому создание алгоритмов, существенно сокращающих время, необходимое для получения достоверного результата, является важной и практически значимой задачей.
Диссертационная работа посвящена исследованию одного класса контактных задач, который (для удобства) мы обозначим через Этот класс обладает следующими особенностями:
• Зона, в пределах которой возможно возникновение контакта между телами, известна заранее, далее будем называть ее зоной стыка. Отметим при этом, что зона контакта (то есть подмножество зоны стыка, на котором достигается контакт) заранее неизвестна и определяется в ходе решения задачи.
• В зоне стыка касательные смещения каждого из взаимодействующих тел (по отношению к поверхности этого тела) являются пренебрежимо малыми по сравнению с нормальными смещениями.
• Внешние нагрузки к взаимодействующим телам прикладываются исключительно в зоне стыка, либо могут быть перенесены в эту зону.
• Силы трения, возникающие в результате контакта, не учитываются.
• Напряжённо-деформируемое состояние каждого рассматриваемого тела описывается уравнениями линейной теории упругости.
• Ищутся установившиеся по времени решения, то есть задачи рассматриваются в стационарной постановке.

Рассмотрим основные свойства каждого из способов:
- Ячейки сетки - равномерное разбиение области на прямоугольные ячейки. Объекты ассоциируются с ячейками на основе координат объектов. Этот способ выгодно использовать, если объекты равномерно распределены в пространстве;
- Квадрадерево - разбиение области на прямоугольные ячейки с линейно убывающими размерами и хранение их в двоичном дереве, причем в дереве хранятся только ячейки, пересекающиеся с объектами. В работе [23] отмечено, что время поиска сильно зависит от начального построения дерева, однако есть возможность сбалансировать его для ускорения поиска;
- Адаптивная сетка - разбиение области секущими плоскостями, параллельными координатным, так, чтобы с каждой стороны плоскости находилось примерно одинаковое число объектов. При равномерном распределении объектов эта стратегия сложна для реализации;
- Ячейки, ассоциированные с телами - центр каждой ячейки совпадает с центром объекта, т.е. каждый объект окружен ячейкой (круговой или прямоугольной). Близлежащие объекты хранятся в списке смежности;
- Пространственная пирамидальная сортировка - разбиение на ячейки, ассоциированные с объектами так, что каждый объект окружен ячейкой. Упорядочивание ячеек выполнено с использованием пирамидальной сортировки в соответствии с координатой вдоль одной или нескольких из глобальных осей.
Когда пространственный поиск выполнен, мы получаем два близлежащих множества конечных элементов и переходим ко второму этапу - нахождению пересекающихся пар. Наиболее интересным является случай, когда оба рассматриваемых тела могут деформироваться. Однако сначала необходимо логически разделить две поверхности на “главную” и “подчиненную”: узлы “главной” поверхности будут проверяться на пересечение с элементами “подчиненной” поверхности.
Большинство алгоритмов распознавания контактной пары основаны на оценивании функции зазора между поверхностями (см. [24, 25]): если зазор отрицательный, значит зафиксировано проникновение. Рассмотрим подробнее