Разработка методов исследования нечетких отображений на примере систем продукционного типа и интегро-дифференциальных уравнений с нечеткими коэффициентами

• Автор: Терновых, Ирина Ивановна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 142 с. : ил.

Содержание
Введение

ГЛАВА 1. Нечеткие множества как инструмент для разработки и

исследования моделей систем в условиях неопределенности

1.1 Основные понятия нечеткой математики

1.2 Формальное понятие нечеткой системы

1.3 Обзор подходов к исследованию формальных нечетких систем

1.4 Цели и задачи исследования

ГЛАВА 2. Исследование нечетких систем, определяемых

с помощью нечеткого отношения

2.1 Исследование различных типов согласованности нечетких

систем продукционного типа
2.2 Алгоритмы для определения типа согласованности и
построения соответствующих множеств согласованности
2.3 Программная реализация алгоритмов исследования нечетких
систем продукционного типа
2.4 Исследование устойчивости дискретных динамических систем
на основе понятия плотности нечеткого множества
Выводы и результаты второй главы
ГЛАВА 3. Исследование устойчивости нечетких непрерывных
систем
3.1 Теоретическое обоснование определения различных типов
устойчивости нечеткой непрерывной системы
3.2 Алгоритм определения типа устойчивости нечеткой
непрерывной системы
3.3 Устойчивость интегро-дифференциального уравнения с
нечеткими коэффициентами
Выводы и результаты третьей главы
Заключение
Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы. С появлением понятия «нечеткие системы» возникла проблема повышения качества их моделирования. Понятие нечеткой системы является одним из основных в рамках нечеткого моделирования [36]. По сути, этот термин является синонимом понятия нечеткой модели [36]. Идея нечеткого моделирования сводится к построению нечеткой модели объекта или процесса на основе принципа «серого ящика», который подразумевает, что зависимость выходной переменной от входной описывается на качественном уровне, приближенно в виде еелп-лго-правил. Такое описание может быть получено от эксперта или сгенерировано автоматическими процедурами на основе статистических данных. Описанный класс нечетких систем - это системы продукционного типа (правила иначе называются продукциями) или нечеткие системы логического вывода [18]. Значение выходной переменной определяется на основе композиционного правила логического вывода, при этом совокупность сслн-шо-правил формально представляется нечетким отношением. В форме нечетких продукционных систем могут быть реализованы нечеткие регуляторы и нечеткие контроллеры. Простейшим типом контроллера является контроллер Мамдани [36], функционирование которого задастся продукционными правилами, которые описывают изменение управляющего воздействия в зависимости от ошибки и ее изменения в текущий момент времени. Доказано, что нечеткий контроллер Мамдани с симметричными треугольными функциями принадлежности входных и выходной переменных и дефазификацией по методу центра тяжести является универсальным аппроксиматором. Иными словами, отображения, реализуемые этими контроллерами, способны приблизить произвольную непрерывную функцию с любой степенью точности [36].
Важнейшей характеристикой качества нечетких систем управления является понятие устойчивости, причем на данный момент существует

довольно много формальных определений этого понятия. Первая попытка проанализировать нечеткие системы управления с этой точки зрения была сделана L.Zadeh и S.L. Chang в 1972 г. Затем в работах C. V. Negoita и D. А. Ralescu был предложен математический аппарат для анализа устойчивости, но критериев устойчивости, которые можно было бы использовать на практике, им найти не удалось. Проблемы устойчивости также решались в работах R. М. Tong, C. Р. Pappis, М. Sugeno, Е. Sanchez, W. J. М. Kickert. Значительные результаты были получены около 15 лет назад. Некоторые из них были позаимствованы в доработанном виде из классической теории управления (J. Kahlert, R. Boehm, Т. Hung, J. Aracil, A. Piegat) и касаются непрерывных динамических нечетких систем. Так, М. De Glas исследует устойчивость нечеткой непрерывной системы с использованием функции Ляпунова. Важнейшие результаты для нечетких дискретных динамических систем получены A.A. Капуа, который предложил подход, основанный на так называемом свойстве хорошего отображения. В работе J. В. Kiszka устойчивость нечеткой дискретной динамической системы исследуется с использованием понятия энергии множества решений нечеткой системы. Следует заметить, что практическая ценность проведенных исследований ограничена, поскольку зачастую отсутствует интерпретация устойчивости (особенно, если используются специальные понятия) и отсутствуют алгоритмы для проверки устойчивости.
Необходимость развития подходов к определению устойчивости нечетких систем, в том числе динамических, и разработки методов проверки данного свойства обусловливают актуальность диссертационного исследования, в рамках которого проблема устойчивости рассматривается применительно к дискретному и непрерывному случаям.
Диссертационная работа выполнена в рамках одного из основных
научных направлений Воронежского государственного университета
«Математическое моделирование, программное и информационное

Значительное число методов нахождения устойчивости нечетких систем были получены около 15 лет назад. Некоторые из них были позаимствованы в доработанном виде из классической теории управления и представлены в трудах [15, 90, 92, 93]. Наиболее известные из методов, созданных для проверки устойчивости нечетких систем, перечисляются ниже [36]:
- критерий устойчивости Попова, позволяющий определить устойчивость нелинейной системы в секторе; дает возможность установить абсолютную устойчивость в целом [36];
- прямой метод Ляпунова [36];
- анализ устойчивости систем в фазовом пространстве [36];
- анализ устойчивости с использованием компьютерной модели системы [36];
- методы, основанные на теории вход-выходной устойчивости [36].
Анализ систем в фазовом пространстве, анализ устойчивости с
использованием компьютерной модели системы - эти методы не дают строго обоснования устойчивости системы, а скорее обеспечивают возможность проверки ее работоспособности для случая, когда точно известен вид возмущающих и входных воздействий на систему, вид начальных условий.
Широко известный метод Ляпунова для исследования устойчивости нелинейных систем позволяет получить строгое математическое обоснование устойчивости. Однако у этого метода имеется ряд недостатков, которые сужают область его применения:
- чтобы подтвердить устойчивость, требуется найти так называемую функцию Ляпунова. Это непростая задача, причем для некоторых случаев даже неразрешимая;
- метод Ляпунова позволяет оценить устойчивость системы для тех секторов области ее рабочих режимов, которые лежат вблизи состояния равновесия данной системы [36];