Разработка методов параметрической идентификации дробных дифференциальных операторов на основе математических моделей в форме разностных уравнений

• Автор: Базовкина, Анна Сергеевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 182 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями с дробными производными, и постановка задачи параметрической идентификации
1.1. Математические модели в форме дифференциальных уравнений с дробными производными и их приложения

1.2. Методы параметрической идентификации динамических систем

1.3. Постановка задачи параметрической идентификации матема-

тических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями с дробными производными
1.4. Выводы
Глава 2. Методы идентификации процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с дробными производными, на основе асимптотических формул

2.1. Асимптотические формулы для функции типа Миттаг — Леф-

флера и применение их в задаче параметрической идентификации

2.2. Метод идентификации на основе асимптотического разложения функции решения дробного уравнения
2.3. Мето/; минимизации невязки в задаче оценивания параметров
дробных дифференциальных операторов
2.4. Метод предельного перехода для аипроксимационного решения
дифференциального уравнения дробного порядка
2.5. Выводы
Глава 3. Численный метод определения параметров дробных дифференциальных операторов на основе разностных схем

3.1. Построение аппроксимаций для дробных дифференциальных операторов на основе разностных схем
3.2. Построение линейно-параметрической дискретной модели в форме разностных уравнений
3.3. Итерационная процедура оценивания параметров дробного дифференциального оператора
3.4. Выводы
Глава 4. Метод параметрической идентификации систем, описываемых при помощи дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка
4.1. Математическая модель процесса аномальной диффузии
4.2. Построение линейно-параметрической дискретной модели для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка
4.3. Численный метод параметрической идентификации процесса аномальной диффузии на основе конечно-разностного уравнения
4.4. Выводы
Глава 5. Оценка погрешности вычисления параметров систем, описываемых при помощи дробных дифференциальных уравнений
5.1. Анализ и оценка погрешности вычисления параметров фрактальных систем на основе разностных уравнений
5.2. Численно-аналитические исследования погрешности вычисления среднеквадратичных оценок параметров процесса, описываемого дифференциальными уравнениями дробного порядка .
5.3. Выводы
Глава 6. Разработка программного обеспечения для реализации

численных методов определения параметров дробных дифференциальных операторов
6.1. Блок-схема и алгоритм реализации методов параметрической идентификации в программном комплексе
6.2. Пользовательский интерфейс программы
6.3. Выводы
Заключение
Литература
Приложение А. Акты внедрения

Рис. 1.6. Вид решения задачи типа Коши (1.4), (1.5) при а = 1,3, д = —1, щ = 0,65, =
Примечательно, что в случаях а = 1 и а = 2 задачи Коши (1.6), (1.7) и (1.8), (1.9) и задачи типа Коши (1.2), (1.3) и (1.4), (1.5) сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям первого и второго порядков соответственно.
Широкое применение имеют также системы, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных, порядок которых является дробным. В качестве примера подобной задачи рассмотрим уравнение следующего вида:
гПп(пг -/Л г)аг>(<т* УЛ
(1.14)
дус(х,€) ^ ^д“с(ж,£)
дР 4 ' дха
где £>0, 0<7<1, 1 < сс < 2.
Уравнение (1.14) эффективно описывает такое интересное и широко изучаемое в настоящее время явление, как аномальная диффузия. Подробнее данное явление и его применение в практических задачах описывается в главе 4. Решение уравнения (1.14) в общем случае может быть построено только в численном виде на основе формул численного дифференцирования для производных дробного порядка [40, 68]. На рис. 1.7 и 1.8 представлен вид решения задачи (1.14) при некоторых значениях входных параметров (а — 1,3, 7 = 0,3, ф = 0,04, с0, = 0,6, г = 1, 2,3).