Применение функционального подхода для надёжного апостериорного контроля точности при адаптивном решении эллиптических задач

• Автор: Чурилова, Мария Александровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 132 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Функциональные апостериорные оценки для задачи Пуассона и задачи диффузии и их реализация

1.1. Вариационный подход к построению апостериорных оценок

1.2. Метод интегральных преобразований

1.3. Вычислительные свойства оценки для задачи Пуассона

1.4. Мажоранта ошибки для стационарной задачи диффузии

1.5. Примеры вычисления оценок с адаптацией сеток

Глава 2. Обоснование функционального подхода к контролю точности для стационарной задачи реакции-диффузии

2.1. Три мажоранты погрешности для различных диапазонов значений параметра реакции

2.2. Вычислительные свойства комбинированной оценки
2.3. Сравнение мажорант и примеры работы адаптивных алгоритмов
Глава 3. Исследование мажорант ошибки для задач линейной теории упругости
3.1. Две функциональные апостериорные оценки
3.2. Вычислительные свойства оценок
3.3. Мажоранта для задачи о плоской деформации
3.4. Выбор аппроксимации свободного тензора
3.5. Численные результаты
Заключение
Список литературы

Введение
Современную инженерную практику невозможно представить без специализированных программных комплексов, предназначенных для вычисления приближённых решений различных краевых задач. Полученные данные используются для предсказания физических явлений, разработки и конструирования изделий, для последующего принятия решений. Например, в механике это может быть оценка геометрических или физических параметров конструкции, анализ надёжности, прочности и функциональных свойств. Современное развитие вычислительных мощностей позволяет моделировать всё более сложные явления. При этом, использование грубых и уточнённых математических моделей может приводить к различным решениям одной и той же задачи. Для обоснования выбора модели принято использовать физический эксперимент. В связи с этим возникает вопрос: насколько близко приближённое решение к точному решению в рамках выбранной математической модели. Появляется необходимость в гарантированных оценках погрешности вычисляемых решений, без которых некорректно сравнивать результат эксперимента и приближённое решение.
Большинство современных инженерных программных комплексов реализуют метод конечных элементов, который основан на дискретизации задачи путём разбиения расчётной области на многоугольники, на каждом из которых решение аппроксимируется функцией заданного вида (см., например, Сьярле [1], Зенкевич и Морган [2], Марчук [3], Шайдуров [4], Axelsson и Barker [5], Brenner и Scott [6] и др.). Для обоснования выбора того или иного способа аппроксимации используются априорные оценки скорости сходимости, которые хорошо развиты теоретически и численно исследованы для различных типов конечных элементов (см., например, Михлин [7], Сьярле [1], Larson и Bengzon [8]). В априорную оценку входит норма неизвестного точного решения задачи и характерный размер расчётной сетки. Также при выводе этих оценок используются дополнительные предположения о повышенной гладкости решения и ре-
гулярности конечноэлементного разбиения. В связи с этим, априорные оценки не могут использоваться в полной мере для анализа погрешности конкретного приближённого решения для конкретной задачи.
Появление основных групп подходов к апостериорному контролю точности связано с появлением численных методов решения краевых задач для уравнений в частных производных, а также с началом интенсивной реализации этих методов на ЭВМ. Работами, давшими существенный толчок развитию рассматриваемой теории, принято считать работы Babuska и Rheinboldt [9],[10], хотя хорошо известны и более ранние публикации, в которых рассматриваются близкие проблемы, например, работы Prager и Synge [11], Михлин [7] и Synge [12]. С середины 80х годов XX века начинают также развиваться основанные на апостериорных оценках адаптивные алгоритмы, направленные на уменьшение размерности дискретной задачи, необходимой для достижения желаемого уровня погрешности, что позволяет сократить как время расчёта, так и задействованные для него аппаратные ресурсы. Для адаптации расчётной сетки важно знать примерное локальное распределение ошибки внутри расчётной области — так называемый индикатор погрешности, в качестве которого могут выступать локальные вклады в апостериорную оценку на каждом элементе разбиения. Среди первых работ, посвященных адаптации расчётной сетки, можно выделить работы Babuska и Rheinboldt [9], Zienkiewicz и Zhu [13], Rank и Zienkiewicz [14], Szymczak и Babuska [15], Ainsworth et al. [16].
Основная идея адаптивного алгоритма состоит в следующем: при наличии числовой характеристики величины ошибки на каждом элементе (индикатора погрешности), начиная с достаточно грубой сетки производится отбор элементов для последующего их разбиения. Критерии отбора могут быть различными, один из наиболее широко используемых — это измельчение тех элементов, для которых величина индикатора превосходит его среднее значение по области. Критерием остановки процесса адаптации может служить достижение желаемого количества расчётных узлов или элементов. При наличии глобальной

и неравенства следа
1М|г2 ^ c7T2||Vu;||, /w е V0.
Обозначим за Л(Г2, Г2) константу, определяемую соотношением
А2(П, Г2) = inf
НІН її
(О + НІГа
С помощью неравенства Коши-Буняковского-Шварца, получается оценка
(/ + di y)w dx +
(F — у ■ n)wds
^(||/ + divy||2 + ||F-y.ni2)1/2C|||

где С — любая константа, удовлетворяющая неравенству

например,
Х(П,Г 2у
_ V^FTl + ^ГГ2 Таким образом, из (1.24) следует

,4V(tt — v) • S/wdx < ЩЛУн — у|||*|||НН+
+ (ll/ + divy||2 + \F-y ■n||^)1/2C|||tw|||, где используется вспомогательная норма
2 * •
А 1у ■ ydx.
Подставив в последнем неравенстве гг = и — V, приходим к мажоранте для задачи диффузии
|н - г>||| ^ MIDF(v,y) :=
:= |pVr-y|||,+ C(||/ + divy||2 + \F - у ■ n\lj1/2 .
(1.25)